Corrigé EDHEC 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 (Q1 à Q5.d) : Densité (1 − x/n)ⁿ⁻¹ sur [0, n] : espérance et variance, fonction de répartition, convergence en loi vers E(1), loi de n·min(U1, …, Un) et simulation

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Toutes les variables sont définies sur $(Ω, A, P)$ ; $n \in N^{*}$ . On pose $f_{n} (x) = (1 - \frac{x}{n})^{n - 1}$ si $0 ⩽ x ⩽ n$ , et $f_{n} (x) = 0$ sinon.

Q1. Vérifier que $f_{n}$ est une densité. On considère ensuite des variables $X_{n}$ de densité $f_{n}$ .
Q2. (a) Justifier l'existence de $E (1 - \frac{X _{n}}{n})$ et de $E ((1 - \frac{X _{n}}{n})^{2})$ et les calculer. (b) En déduire que $X_{n}$ a une espérance et une variance, et les calculer.
Q3. Déterminer la fonction de répartition $F_{n}$ de $X_{n}$ .
Q4. (a) Pour $x < 0$ , donner la limite de $F_{n} (x)$ . (b) Pour $x ⩾ 0$ , montrer que $F_{n} (x) = 1 - (1 - \frac{x}{n})^{n}$ dès que $n ⩾ ⌊ x ⌋ + 1$ . (c) Pour $x ⩾ 0$ , calculer $lim n ln (1 - \frac{x}{n})$ . (d) En déduire que $(X_{n})$ converge en loi vers une variable $X$ dont on donnera la loi.
Q5. Soient $U_{1}, \dots, U_{n}$ mutuellement indépendantes de loi uniforme sur $[0, 1]$ , de fonction de répartition commune $G$ ; on pose $M_{n} = min (U_{1}, \dots, U_{n})$ et $Z_{n} = n M_{n}$ . (a) Rappeler $G (x)$ . (b) Calculer $P (Z_{n} > x)$ à l'aide de $G$ , puis la fonction de répartition $F_{Z_{n}}$ . (c) Conclure que $Z_{n}$ suit la même loi que $X_{n}$ . (d) En déduire une fonction Python renvoyant une réalisation de $X_{n}$ .

Corrigé

Q1. On vérifie les trois conditions du théorème « reconnaître une densité ».

Positivité. Pour $0 ⩽ x ⩽ n$ , $0 ⩽ 1 - \frac{x}{n} ⩽ 1$ , donc $f_{n} (x) ⩾ 0$ (puissance d'un réel positif ; pour $n = 1$ , l'exposant est nul et $f_{1} (x) = 1$ sur $[0, 1]$ ). Ailleurs $f_{n} (x) = 0$ .

Continuité sauf en un nombre fini de points. $f_{n}$ est nulle sur $] - \infty, 0 [$ et sur $] n, + \infty [$ , polynomiale sur $[0, n]$ : elle est continue sur $R$ sauf peut-être en $0$ et en $n$ .

Intégrale égale à $1$ . $f_{n}$ est nulle hors du segment $[0, n]$ , sur lequel elle est continue, donc $\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{n}$ converge et vaut $\int_{0}^{n} f_{n} (x) d x$ . Pour tout entier $m ⩾ 1$ , la fonction $x \mapsto - \frac{n}{m} (1 - \frac{x}{n})^{m}$ a pour dérivée $(1 - \frac{x}{n})^{m - 1}$ (dérivée d'une composée : $- \frac{n}{m} \cdot m \cdot (- \frac{1}{n}) = 1$ ). Avec $m = n$ :

$\int_{0}^{n} (1 - \frac{x}{n})^{n - 1} d x = [- (1 - \frac{x}{n})^{n}]_{0}^{n} = - 0 + 1 = 1.$

Donc $f_{n}$ est une densité de probabilité.

Ce que le correcteur attend : les trois points, avec une continuité énoncée correctement (la fonction est discontinue en $0$ , et c'est permis).

Q2. (a) La fonction $g : x \mapsto 1 - \frac{x}{n}$ est continue sur $R$ et $f_{n}$ est nulle hors de $[0, n]$ . Par le théorème de transfert, $g (X_{n})$ admet une espérance si et seulement si $\int_{0}^{n} g (x) f_{n} (x) d x$ converge absolument, ce qui est le cas : c'est l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Avec la primitive de Q1 pour $m = n + 1$ :

$E (1 - \frac{X _{n}}{n}) = \int_{0}^{n} (1 - \frac{x}{n})^{n} d x = [- \frac{n}{n + 1} (1 - \frac{x}{n})^{n + 1}]_{0}^{n} = \frac{n}{n + 1} .$

De même, $g^{2}$ est continue et $g^{2} f_{n}$ est continue sur le segment $[0, n]$ ; avec $m = n + 2$ :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →