Corrigé EDHEC 2025 Maths appliquées ECG — Problème, première partie (Q1 à Q5.c) : n + 1 urnes et rang de la première boule blanche : simulation Python, lois géométriques conditionnelles, probabilités totales, P(Xn = 1) = 1/2 et loi de Xn

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ . On dispose de $n + 1$ urnes numérotées de $1$ à $n + 1$ , contenant chacune $n$ boules ; l'urne $k$ contient $k - 1$ boules noires et $n - k + 1$ blanches. On choisit une urne au hasard, puis on y tire indéfiniment une boule avec remise. $U_{k}$ est l'événement « on a choisi l'urne $k$ » ; $X_{n}$ vaut $0$ si aucune boule blanche n'apparaît, et $j \in N^{*}$ si la première blanche apparaît au $j$ -ième tirage. En Python, rd.randint(a,b+1), rd.binomial(n,p), rd.geometric(p) simulent les lois $U ([[a, b]])$ , $B (n, p)$ , $G (p)$ .

Q1. Les $j - 1$ boules noires de l'urne $j$ étant codées par $1, \dots, j - 1$ , compléter la fonction varX(n) qui simule $X_{n}$ (choix de l'urne, cas $k = n + 1$ , cas $k = 1$ , boucle while sur rd.randint(1,n+1)).
Q2. Déterminer $P (U_{k})$ pour $k \in [[1, n + 1]]$ .
Q3. (a) Pour $k \in [[1, n]]$ , donner la loi de $X_{n}$ conditionnellement à $U_{k}$ . (b) En gardant les six premières lignes de varX, compléter un bloc else donnant une autre simulation de $X_{n}$ .
Q4. (a) Déterminer $P_{U_{n + 1}} (X_{n} = 1)$ . (b) Donner $P_{U_{k}} (X_{n} = 1)$ pour $k \in [[1, n]]$ . (c) Montrer que $P (X_{n} = 1) = \frac{1}{2}$ .
Q5. Soit $j ⩾ 2$ . (a) Déterminer $P_{U_{n + 1}} (X_{n} = j)$ . (b) Donner $P_{U_{k}} (X_{n} = j)$ pour $k \in [[1, n]]$ . (c) En déduire $P (X_{n} = j) = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} [(\frac{k}{n})^{j - 1} - (\frac{k}{n})^{j}]$ .

Corrigé

Q1. Dans l'urne $k$ , les boules sont numérotées de $1$ à $n$ , les noires portant les numéros $1$ à $k - 1$ : un tirage au hasard est un appel à rd.randint(1,n+1) (loi uniforme sur $[[1, n]]$ ), et la boule est noire si et seulement si le numéro obtenu est $⩽ k - 1$ . Le choix de l'urne au hasard est un tirage uniforme sur $[[1, n + 1]]$ , soit rd.randint(1,n+2).


def varX(n):
    k = rd.randint(1, n + 2)          # choix de l'urne
    if k == n + 1:
        X = 0                         # que des noires : jamais de blanche
    elif k == 1:
        X = 1                         # que des blanches : blanche au 1er tirage
    else:
        X = 1
        while rd.randint(1, n + 1) <= k - 1:   # la boule tirée est noire
            X = X + 1
    return(X)

Dans le cas général, X contient le numéro du tirage en cours ; tant que ce tirage donne une noire, on passe au suivant. La boucle s'arrête au premier tirage d'une blanche et X est alors son rang. Pour $2 ⩽ k ⩽ n$ , l'urne contient au moins une blanche et la boucle s'arrête avec probabilité $1$ . Exécutée $200000$ fois pour $n = 4$ , cette fonction donne pour les valeurs $0, 1, 2, 3$ des fréquences voisines de $0, 20$ ; $0, 50$ ; $0, 12$ ; $0, 06$ (à $0, 003$ près d'une exécution à l'autre), conformes aux probabilités calculées plus loin ( $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$ ).

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