Corrigé EDHEC 2025 Maths appliquées ECG — Problème, seconde partie (Q6.a à Q9.d) : Série télescopique, P(Xn = 0) = 1/(n + 1), espérance n/(n + 1)·Hn, comparaison série-intégrale et équivalent E(Xn) ∼ ln n

Q6. (a) Soit $k\in [[0,n-1]]$ et $q=\frac{k}{n}$, de sorte que $0⩽q<1$. Pour $N⩾2$, la somme partielle est télescopique :

$$\sum _{j=2}^N(q^{j-1}-q^j)=(q-q^2)+(q^2-q^3)+\cdots +(q^{N-1}-q^N)=q-q^N.$$

Comme $0⩽q<1$, $q^N\to 0$ quand $N\to +\infty$ (pour $q=0$, la suite est même nulle). La série converge donc et

$$\boxed{\sum _{j=2}^{+\infty }\left[\right(\frac{k}{n}{)}^{j-1}-\left(\frac{k}{n}{)}^j\right]=\frac{k}{n}.}$$

(b) $X_n$ prend ses valeurs dans $\mathbb{N}$, donc $[X_n⩾2]$ est la réunion des événements deux à deux incompatibles $[X_n=j]$, $j⩾2$. Par $\sigma$-additivité, puis Q5(c),

$$P(X_n⩾2)=\sum _{j=2}^{+\infty }P(X_n=j)=\sum _{j=2}^{+\infty }\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n-1}\left[\right(\frac{k}{n}{)}^{j-1}-\left(\frac{k}{n}{)}^j\right].$$

Chacune des $n$ séries indexées par $j$ converge d'après (a) ; la somme d'un nombre fini de séries convergentes est une série convergente dont la somme est la somme des sommes (linéarité). On peut donc intervertir la somme finie sur $k$ et la somme de la série :

$$P(X_n⩾2)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{k}{n}=\frac{1}{n(n+1)}\cdot \frac{(n-1)n}{2}=\boxed{\frac{n-1}{2(n+1)}.}$$

Ce que le correcteur attend : l'interversion justifiée par le caractère fini de la somme sur $k$ (l'interversion de deux sommes infinies n'est pas au programme).

Q7. (a) Comme $X_n(\Omega )\subset \mathbb{N}$, les événements $[X_n=0]$, $[X_n=1]$ et $[X_n⩾2]$ forment un système complet d'événements. Avec Q4(c) et Q6(b),

$$P(X_n=0)=1-\frac{1}{2}-\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{(n+1)-(n-1)}{2(n+1)}=\boxed{\frac{1}{n+1}.}$$