Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 1 (Q1.a à Q6) : Suite implicite fn(xn) = 0 : variations de ln(x)/x, théorème de la bijection, xn ~ n, un = xn − n − 1 ~ ln(n)/n, nature de Σun et Σun²

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n ⩾ 1$ , on pose $f_{n} (x) = (x - n) ln (x) - x ln (x - n)$ pour $x > n$ , et $g (x) = \frac{ln ( x )}{x}$ pour $x > 0$ .

Q1. (a) Variations de $g$ , limites comprises. (b) En déduire que $(\frac{l n k}{k})_{k ⩾ 3}$ décroît, puis que $\frac{l n k}{k} ⩽ \frac{l n 2}{2}$ pour $k ⩾ 4$ .
Q2. (a) Dérivabilité de $f_{n}$ et expression de $f_{n}^{'} (x)$ . (b) Montrer que $ln t ⩽ t - 1$ pour $t > 0$ , puis que $f_{n}$ est strictement décroissante. (c) Pour $n ⩾ 2$ , montrer que $f_{n} (x) = 0$ admet une unique solution $x_{n} \in [n + 1, n + 2]$ .
Q3. Montrer que $x_{n} \sim n$ .
Q4. (a) Justifier que $ln (x_{n} - n) = (x_{n} - n) \frac{l n ( x _{n} )}{x _{n}}$ pour $n ⩾ 2$ . (b) Limite de $\frac{l n ( x _{n} )}{x _{n}}$ , puis $lim (x_{n} - n) = 1$ .
Q5. On pose $u_{n} = x_{n} - n - 1$ . (a) Justifier $ln (1 + u_{n}) \sim u_{n}$ et $ln (1 + n + u_{n}) \sim ln (n)$ . (b) Avec Q4(a), montrer que $u_{n} \sim \frac{l n ( n )}{n}$ .
Q6. Nature des séries de termes généraux $u_{n}$ et $u_{n}^{2}$ .

Corrigé

Q1. (a) La fonction $g$ est dérivable sur $R_{+}^{*}$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, et

$g^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ln ( x ) \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{1 - ln ( x )}{x ^{2}} .$

Le signe de $g^{'} (x)$ est celui de $1 - ln (x)$ : strictement positif sur $] 0, e [$ , nul en $e$ , strictement négatif sur $] e, + \infty [$ . Donc $g$ est strictement croissante sur $] 0, e]$ et strictement décroissante sur $[e, + \infty [$ , de maximum $g (e) = \frac{1}{e}$ .

Limites. En $0^{+}$ : $ln (x) \to - \infty$ et $\frac{1}{x} \to + \infty$ , donc le produit $ln (x) \times \frac{1}{x}$ tend vers $- \infty$ ; il n'y a aucune forme indéterminée, les croissances comparées n'ont rien à faire ici. En $+ \infty$ : par croissances comparées, $\frac{l n ( x )}{x} \to 0$ . En résumé : $g$ croît de $- \infty$ à $\frac{1}{e}$ sur $] 0, e]$ , puis décroît de $\frac{1}{e}$ vers $0$ sur $[e, + \infty [$ (en restant strictement positive pour $x > 1$ ).

(b) Comme $e < 3$ , pour $k ⩾ 3$ les entiers $k < k + 1$ sont dans $[e, + \infty [$ , où $g$ est strictement décroissante : $g (k + 1) < g (k)$ . La suite $(\frac{l n k}{k})_{k ⩾ 3}$ est donc (strictement) décroissante. Pour $k ⩾ 4$ , il vient $\frac{l n k}{k} ⩽ \frac{l n 4}{4}$ , et

$\frac{ln 4}{4} = \frac{2 ln 2}{4} = \frac{ln 2}{2}, d’o u ˋ \forall k ⩾ 4, \frac{ln k}{k} ⩽ \frac{ln 2}{2} .$

L'inégalité est même stricte pour $k ⩾ 5$ , et c'est une égalité pour $k = 4$ : ce détail servira en Q2(c).

Q2. (a) Sur $] n, + \infty [$ , on a $x > 0$ et $x - n > 0$ : les fonctions $x \mapsto ln (x)$ et $x \mapsto ln (x - n)$ y sont dérivables, et $f_{n}$ l'est comme somme et produit de fonctions dérivables. Pour $x > n$ ,

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