EDHEC 2025 — Maths approfondies ECG : sujet et corrigé

7 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Exercice 1 (Q1.a à Q6) — Suite implicite fn(xn) = 0 : variations de ln(x)/x, théorème de la bijection, xn ~ n, un = xn − n − 1 ~ ln(n)/n, nature de Σun et Σun²
• Exercice 2 (Q1.a à Q4) — Composée de deux projections orthogonales : p1∘p2 est une projection orthogonale si et seulement si p1 et p2 commutent, et projette alors sur F1∩F2
• Exercice 3 — Partie 1 (Q1 à Q7) — Variable de densité −2x·exp(−x²) sur ]−∞,0] : répartition, espérance par la loi normale N(0,1/2), X² suit E(1), variance, simulation Python
• Exercice 3 — Partie 2 (Q8 à Q12) — Maximum de n variables de densité 2(1−x) sur [0,1] : répartition de √n(Mn − 1), limite de (1 + y/n)^n, convergence en loi vers X
• Problème — Parties 1 et 2 (Q1 à Q8) — Bn = C(2n,n)/4^n en Python et intégrales de Wallis : relation de récurrence, W2n et W2n+1 en fonction de Bn, encadrement et Bn ~ 1/√(πn)
• Problème — Partie 3 (Q9.a à Q12) — Marche aléatoire symétrique : loi de Sn, nombre Rn de retours à zéro, E(Rn) = B1 + … + Bn ~ 2√(n/π) par télescopage
• Problème — Partie 4 (Q13.a à Q17) — Fonction f(x) = Σ xⁿ/C(2n,n) sur [0,4[ : convergence, croissance, encadrement par des séries géométriques, limites en 0 et 4, tangente y = x/2 et allure de la courbe