Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 4 (Q13.a à Q17) : Fonction f(x) = Σ xⁿ/C(2n,n) sur [0,4[ : convergence, croissance, encadrement par des séries géométriques, limites en 0 et 4, tangente y = x/2 et allure de la courbe

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$B_{n} = \frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n)$ , et (partie 2) $\frac{1}{π n + 1} ⩽ B_{n} ⩽ \frac{1}{π n}$ pour $n ⩾ 1$ , $B_{n} \sim \frac{1}{π n}$ .

Q13. (a) Montrer que $\frac{1}{( n 2 n )} \sim \frac{nπ}{4 ^{n}}$ . (b) En déduire que $\sum_{n ⩾ 1} \frac{x ^{n}}{( n 2 n )}$ converge pour $x \in [0, 4 [$ .

On pose $f (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{( n 2 n )}$ pour $x \in [0, 4 [$ .

Q14. Justifier que $f$ est croissante sur $[0, 4 [$ . On admet que $f$ est continue sur $] 0, 4 [$ .
Q15. (a) Montrer que $π (\frac{x}{4})^{n} ⩽ \frac{x ^{n}}{( n 2 n )} ⩽ π (n + 1) (\frac{x}{4})^{n}$ pour $x \in [0, 4 [$ et $n ⩾ 1$ . (b) En déduire $π \frac{x}{4 - x} ⩽ f (x) ⩽ π (\frac{x}{4} \times \frac{1}{( 1 - x /4 ) ^{2}} + \frac{x}{4 - x})$ , puis les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $4^{-}$ ; conséquence pour $f$ en $0$ .
Q16. Montrer que $f (x) ⩾ \frac{x}{2}$ sur $[0, 4 [$ .
Q17. On admet $f (x) = \frac{x}{2} + o (x)$ en $0$ . Tracer l'allure précise de la courbe de $f$ .

Corrigé

Q13. (a) Par définition, $(n 2 n) = 4^{n} B_{n}$ , donc $\frac{1}{( n 2 n )} = \frac{1}{4 ^{n}} \cdot \frac{1}{B _{n}}$ . Par Q8, $B_{n} \sim \frac{1}{π n}$ ; l'équivalence étant compatible avec le quotient, $\frac{1}{B _{n}} \sim π n$ , puis, par produit avec $\frac{1}{4 ^{n}}$ :

$\frac{1}{( n 2 n )} + \infty \sim \frac{nπ}{4 ^{n}} .$

(b) Si $x = 0$ , tous les termes ( $n ⩾ 1$ ) sont nuls et la série converge. Soit $x \in] 0, 4 [$ et $q = \frac{x}{4} \in] 0, 1 [$ . Par (a) et compatibilité avec le produit, $\frac{x ^{n}}{( n 2 n )} \sim π n q^{n}$ , termes strictement positifs. Or, pour $n ⩾ 1$ , $0 ⩽ n q^{n} ⩽ n q^{n} = q \cdot n q^{n - 1}$ , et la série $\sum_{n ⩾ 1} n q^{n - 1}$ converge (série géométrique dérivée, $∣ q ∣ < 1$ ). Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum n q^{n}$ converge, puis, par équivalence de termes positifs, $n ⩾ 1 \sum \frac{x ^{n}}{( n 2 n )} converge .$

Q14. Soient $0 ⩽ x < y < 4$ . Pour tout $n ⩾ 1$ , $x^{n} ⩽ y^{n}$ (la fonction $t \mapsto t^{n}$ est croissante sur $R_{+}$ ), donc $\frac{x ^{n}}{( n 2 n )} ⩽ \frac{y ^{n}}{( n 2 n )}$ . En sommant de $1$ à $N$ puis en faisant tendre $N$ vers $+ \infty$ (les deux séries convergent par Q13), on obtient $f (x) ⩽ f (y)$ : $f$ est croissante sur $[0, 4 [$ . Elle l'est même strictement, car

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