Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 3 — Partie 2 (Q8 à Q12) : Maximum de n variables de densité 2(1−x) sur [0,1] : répartition de √n(Mn − 1), limite de (1 + y/n)^n, convergence en loi vers X

Notations de la partie 1 : $X$ de densité $f$, de fonction de répartition $F$ ($F(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$ si $x⩽0$, $F(x)=1$ si $x>0$). On pose $h(x)=2(1-x)$ si $x\in [0,1]$ et $h(x)=0$ sinon.

Q8. Montrer que $h$ est une densité.

$Y$ désigne une variable de densité $h$, avec $Y(\Omega )=[0,1]$, et $H$ sa fonction de répartition.

Q9. Expression de $H(x)$ pour tout réel $x$.

$(Y_n{)}_{n⩾1}$ sont mutuellement indépendantes, de même loi que $Y$ ; $M_n=\max \{Y_1,\dots ,Y_n\}$ et $T_n=\sqrt{n}(M_n-1)$.

Q10. Montrer que la fonction de répartition $F_n$ de $T_n$ vérifie $F_n(x)=\left[H\right(1+\frac{x}{\sqrt{n}}){]}^n$.
Q11. Pour $y$ réel, déterminer ${\lim }_{n\to +\infty }(1+\frac{y}{n}{)}^n$.
Q12. En déduire que $(T_n)$ converge en loi vers $X$.