Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 3 — Partie 1 (Q1 à Q7) : Variable de densité −2x·exp(−x²) sur ]−∞,0] : répartition, espérance par la loi normale N(0,1/2), X² suit E(1), variance, simulation Python

Q1. On vérifie les trois points de la définition d'une densité.

• Continuité. $f$ est continue sur $]-\infty ,0]$ (produit de fonctions continues) et sur $]0,+\infty [$ (nulle) ; de plus $f(0)=0={\lim }_{0^{+}}f$, donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
• Positivité. Pour $x⩽0$, $-2x⩾0$ et ${\mathrm{e}}^{-x^2}>0$, donc $f(x)⩾0$ ; et $f(x)=0$ pour $x>0$.
• Intégrale. ${\int }_0^{+\infty }f$ converge et vaut $0$. Pour $A<0$, puisque $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2}$ a pour dérivée $x\mapsto -2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$,

$${\int }_A^0-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=[{\mathrm{e}}^{-x^2}{]}_A^0=1-{\mathrm{e}}^{-A^2}\underset{A\to -\infty }{\to }1.$$

Donc ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ converge et vaut $1$ : $f$ est une densité de probabilité.

Q2. Par définition, $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$.

• Si $x⩽0$ : pour $A<x$, ${\int }_A^{x}f(t)\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-x^2}-{\mathrm{e}}^{-A^2}\to {\mathrm{e}}^{-x^2}$ quand $A\to -\infty$, donc $F(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$.
• Si $x>0$ : $F(x)=F(0)+{\int }_0^{x}0\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^0=1$.

$$\boxed{F(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}\text{si}x⩽0,F(x)=1\text{si}x>0.}$$

Ce que le correcteur attend : $F(x)=1$ (et non $0$) sur $]0,+\infty [$, justifié par la relation de Chasles ; c'est la faute que le jury juge la plus grave.