Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Problème — Parties 1 et 2 (Q1 à Q8) : Bn = C(2n,n)/4^n en Python et intégrales de Wallis : relation de récurrence, W2n et W2n+1 en fonction de Bn, encadrement et Bn ~ 1/√(πn)

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N$ , $B_{n} = \frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n)$ ; un produit vide vaut $1$ . Pour $n \in N$ , $W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin (t)^{n} d t$ .

Q1. Justifier que $B_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{k + n}{4 k}$ et compléter la fonction Python B(n) (squelette : initialisation de P, boucle for k in range(...), mise à jour de P, return P).
Q2. Calculer $W_{0}$ et $W_{1}$ .
Q3. Montrer que $(W_{n})$ est décroissante.
Q4. Montrer que $W_{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2} W_{n}$ .
Q5. En déduire $W_{2 n} = \frac{π}{2} B_{n}$ et $W_{2 n + 1} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) B _{n}}$ .
Q6. Montrer que $W_{2 n - 1} = \frac{1}{2 n B _{n}}$ pour $n ⩾ 1$ .
Q7. En déduire, pour $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{( 2 n + 1 ) B _{n}} ⩽ \frac{π}{2} B_{n} ⩽ \frac{1}{2 n B _{n}}$ , puis $\frac{1}{π n + 1} ⩽ B_{n} ⩽ \frac{1}{π n}$ .
Q8. En déduire un équivalent de $B_{n}$ .

Corrigé

Q1. Pour $n \in N$ , $(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{n ! n !}$ et $\frac{( 2 n )!}{n !} = (n + 1) (n + 2) \dots (2 n) = \prod_{k = 1}^{n} (n + k)$ . Comme $n! = \prod_{k = 1}^{n} k$ et $4^{n} = \prod_{k = 1}^{n} 4$ , on obtient

$B_{n} = \frac{\prod _{k = 1}^{n} ( k + n )}{\prod _{k = 1}^{n} 4 \prod _{k = 1}^{n} k} = k = 1 \prod n \frac{k + n}{4 k} .$

Pour $n = 0$ , le produit est vide et vaut $1 = B_{0}$ . On accumule le produit dans P, initialisé à $1$ (élément neutre), $k$ parcourant $[[1; n]]$ , d'où range(1, n+1) :


def B(n):
    P = 1
    for k in range(1, n + 1):
        P = P * (k + n) / (4 * k)
    return P

Exécution : B(0), B(1), B(2), B(3) renvoient 1, 0.5, 0.375, 0.3125, soit $(n 2 n) / 4^{n}$ pour $n = 0, 1, 2, 3$ ( $1$ , $\frac{2}{4}$ , $\frac{6}{16}$ , $\frac{20}{64}$ ). Pour $n = 0$ , la boucle ne s'exécute pas et la fonction renvoie bien $1$ .

Q2. $W_{0} = \int_{0}^{π /2} 1 d t = \frac{π}{2}$ et $W_{1} = \int_{0}^{π /2} sin (t) d t = [- cos (t)]_{0}^{π /2} = 0 + 1 = 1.$

Q3. Pour $n \in N$ , par linéarité,

$W_{n + 1} - W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin (t)^{n} (sin (t) - 1) d t .$

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