Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 3 (Q9.a à Q12) : Marche aléatoire symétrique : loi de Sn, nombre Rn de retours à zéro, E(Rn) = B1 + … + Bn ~ 2√(n/π) par télescopage

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$B_{n} = \frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n)$ et, par la partie 2, $\frac{1}{π n + 1} ⩽ B_{n} ⩽ \frac{1}{π n}$ pour $n ⩾ 1$ . Les $X_{n}$ ( $n ⩾ 1$ ) sont mutuellement indépendantes, à valeurs dans ${- 1, 1}$ , avec $P (X_{n} = 1) = P (X_{n} = - 1)$ ; $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ .

Q9. (a) Loi, espérance et variance de $Y_{k} = \frac{X _{k} + 1}{2}$ . (b) En déduire la loi de $T_{n} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ . (c) Montrer que $S_{n} (Ω) = {2 j - n, j \in [[0; n]]}$ et donner la loi de $S_{n}$ .
Q10. $R_{n}$ est le nombre d'entiers $k \in [[1; 2 n]]$ tels que $S_{k} = 0$ . (a) Justifier que $R_{n} = Card {k \in [[1; n]], S_{2 k} = 0}$ . (b) Montrer que $P (S_{2 k} = 0) = B_{k}$ . (c) Avec $A_{k} = (S_{2 k} = 0)$ , exprimer $R_{n}$ à l'aide des indicatrices $1_{A_{k}}$ . (d) En déduire $E (R_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} B_{k}$ .
Q11. Pour $k ⩾ 1$ , montrer que $2 (k + 1 - k) ⩽ \frac{1}{k} ⩽ 2 (k - k - 1)$ .
Q12. En déduire un équivalent de $E (R_{n})$ .

Corrigé

Q9. (a) Comme $X_{k}$ prend les deux valeurs $\pm 1$ avec la même probabilité et que ces probabilités somment à $1$ , $P (X_{k} = 1) = P (X_{k} = - 1) = \frac{1}{2}$ . La variable $Y_{k} = \frac{X _{k} + 1}{2}$ vaut $1$ si $X_{k} = 1$ et $0$ si $X_{k} = - 1$ : $Y_{k} (Ω) = {0, 1}$ et $P (Y_{k} = 1) = P (X_{k} = 1) = \frac{1}{2}$ . Donc

$Y_{k} ↪ B (\frac{1}{2}), E (Y_{k}) = \frac{1}{2}, V (Y_{k}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} .$

(b) $T_{n} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{X _{k} + 1}{2} = \sum_{k = 1}^{n} Y_{k}$ . Chaque $Y_{k}$ est fonction de $X_{k}$ seule ; les $X_{k}$ étant mutuellement indépendantes, les $Y_{k}$ le sont aussi (lemme des coalitions). Somme de $n$ variables de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ mutuellement indépendantes :

$T_{n} ↪ B (n, \frac{1}{2}) .$

(c) On a $S_{n} = 2 T_{n} - n$ . Comme $T_{n} (Ω) = [[0; n]]$ (chaque valeur $j$ y est prise avec la probabilité $(j n) \frac{1}{2 ^{n}} > 0$ ), $S_{n} (Ω) = {2 j - n, j \in [[0; n]]}$ , et pour $j \in [[0; n]]$ :

$P (S_{n} = 2 j - n) = P (T_{n} = j) = (j n) \frac{1}{2 ^{n}} .$

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