Corrigé EDHEC 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 2 (Q1.a à Q4) : Composée de deux projections orthogonales : p1∘p2 est une projection orthogonale si et seulement si p1 et p2 commutent, et projette alors sur F1∩F2

Rappels utilisés (définition de la projection orthogonale) : si $p$ est la projection orthogonale sur $F$, alors, pour tout $x\in E$, $p(x)\in F$ et $x-p(x)\in F^{\perp }$ ; $p(x)=x$ pour tout $x\in F$ ; l'image de $p$ est $F$, et $p(x)=x⟺x\in F$.

Q1. (a) Soit $x\in F$. Alors $p(x)=x$, donc $\Vert p(x)\Vert =\Vert x\Vert$ : $x$ appartient à l'ensemble $\{x\in E,\Vert p(x)\Vert =\Vert x\Vert \}$. D'où l'inclusion.

(b) Soit $x\in E$. On écrit $x=p(x)+(x-p(x))$, avec $p(x)\in F$ et $x-p(x)\in F^{\perp }$ ; ces deux vecteurs sont orthogonaux. Par le théorème de Pythagore,

$$\boxed{\Vert x{\Vert }^2=\Vert x-p(x){\Vert }^2+\Vert p(x){\Vert }^2.}$$

(c) Soit $x\in E$ tel que $\Vert p(x)\Vert =\Vert x\Vert$. Par (b), $\Vert x-p(x){\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\Vert p(x){\Vert }^2=0$, donc $x-p(x)=0$ (une norme nulle caractérise le vecteur nul), soit $x=p(x)\in F$. Cela donne l'inclusion réciproque de (a), d'où

$$\boxed{F=\{x\in E,\Vert p(x)\Vert =\Vert x\Vert \}.}$$

Enfin, par (b), $\Vert p(x){\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\Vert x-p(x){\Vert }^2⩽\Vert x{\Vert }^2$, et comme les normes sont positives, $\boxed{\Vert p(x)\Vert ⩽\Vert x\Vert }$ pour tout $x\in E$.

Q2. (a) Soit $x\in F_1\cap F_2$. Comme $x\in F_2$, $p_2(x)=x$ ; comme $x\in F_1$, $p_1(x)=x$. Donc $p_3(x)=p_1(p_2(x))=p_1(x)=x$, et $x\in \mathrm{Im}{p}_3=F_3$. Ainsi $F_1\cap F_2\subset F_3$.

(b) Soit $x\in F_3$ : $x=p_3(x)=p_1(p_2(x))$. Par Q1(c) appliquée à la projection $p_1$ et au vecteur $p_2(x)$,

$$\Vert x\Vert =\Vert p_1(p_2(x))\Vert ⩽\Vert p_2(x)\Vert .$$