Corrigé EDHEC 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 1 (Q1 à Q6.d) : Suite uₙ₊₁ = uₙ² − uₙ + 1 : divergence vers +∞, uₙ₊₁ ∼ uₙ², série télescopique de somme 1/(a − 1), loi P(X = n) = 1/uₙ et existence des moments

Q1. On initialise avec $u_0=a$, puis on applique $n$ fois la relation de récurrence : après le passage numéro $k$ de la boucle, la variable u contient $u_k$.

def suite_u(a, n):
    u = a                     # u_0 = a
    for k in range(1, n+1):
        u = u**2 - u + 1      # u contient maintenant u_k
    return u

Exécution : [suite_u(2,n) for n in range(6)] renvoie [2, 3, 7, 43, 1807, 3263443], ce qui montre déjà la croissance très rapide de la suite pour $a=2$.

Q2. Posons $\phi (x)=x^2-x+1$, de sorte que $u_{n+1}=\phi (u_n)$. La fonction $\phi$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. Supposons que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. D'après le théorème « la limite est un point fixe » ($\phi$ continue en $\ell$), on a $\phi (\ell )=\ell$, c'est-à-dire

$${\ell }^2-\ell +1=\ell ⟺{\ell }^2-2\ell +1=0⟺(\ell -1{)}^2=0⟺\ell =1.$$

Donc, si $(u_n)$ converge, sa limite est $\boxed{\ell =1}$.

Ce que le correcteur attend : la question est une implication. On ne peut pas objecter ici que $u_n>1$ : c'est précisément ce qui, à la question suivante, rendra la convergence impossible.

Q3. (a) Pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_{n+1}-u_n=u_n^2-2u_n+1=(u_n-1{)}^2⩾0.$$

La suite $(u_n)$ est donc croissante.

(b) Une suite croissante vérifie $u_n⩾u_0$ pour tout $n$ (par récurrence immédiate : $u_{n+1}⩾u_n⩾u_0$). Comme $u_0=a$, on obtient $\boxed{\forall n\in \mathbb{N},u_n⩾a}$.

(c) Raisonnons par l'absurde : si $(u_n)$ convergeait, sa limite serait $\ell =1$ d'après Q2. Mais par passage à la limite dans l'inégalité large $u_n⩾a$ de (b), on aurait $\ell ⩾a>1$, ce qui est contradictoire. Donc $(u_n)$ diverge.