Corrigé EDHEC 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 (Q1.a à Q5.b) : Système f′ = f − 2g, g′ = 2f + 5g : problème de Cauchy, équation y″ − 6y′ + 9y = 0 à racine double, fonction auxiliaire h = f + g, solutions (1 ∓ 4x)e³ˣ et tracé Python

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On cherche $f$ et $g$ dérivables sur $R$ , avec $f (0) = g (0) = 1$ , solutions du système $(S)$ : $f^{'} = f - 2 g$ et $g^{'} = 2 f + 5 g$ sur $R$ .

Q1. (a) Justifier l'existence et l'unicité du couple solution. (b) Montrer que $f$ et $g$ sont deux fois dérivables.
Q2. (Première méthode.) (a) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ : $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 0$ . (b) Donner $f^{'} (0)$ . (c) Déterminer $f (x)$ . (d) En déduire $g (x)$ .
Q3. (Deuxième méthode.) On pose $h = f + g$ . (a) Montrer que $(S)$ équivaut à : $f^{'} = f - 2 g$ et $h^{'} = 3 h$ . (b) Donner $h (0)$ , résoudre $h^{'} = 3 h$ et déterminer $h (x)$ . (c) En déduire que $(S)$ équivaut à : $f^{'} (x) = 3 f (x) - 4 e^{3 x}$ et $(f + g) (x) = 2 e^{3 x}$ .
Q4. Soit $(E D)$ : $y^{'} = 3 y - 4 e^{3 x}$ . (a) Déterminer le réel $a$ tel que $f_{a} (x) = a x e^{3 x}$ soit solution particulière de $(E D)$ . (b) En déduire $f (x)$ . (c) Donner $f$ et $g$ .
Q5. (a) Écrire des fonctions Python f(x) et g(x). (b) Écrire un script traçant les courbes de $f$ et $g$ sur $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ avec np.linspace ou np.arange.

Corrigé

Q1. (a) Posons $X = (f g)$ . Le système $(S)$ et les conditions initiales s'écrivent

$X^{'} = A X, X (0) = X_{0}, avec A = (12 - 2 5) \in M_{2} (R), X_{0} = (11) .$

C'est un système différentiel linéaire à coefficients constants muni d'une condition initiale en $t_{0} = 0$ . D'après le théorème de Cauchy (résultat admis du programme), ce problème admet une unique solution, définie sur $R$ tout entier : il existe un seul couple $(f, g)$ solution.

(b) $f$ et $g$ sont dérivables sur $R$ . Les fonctions $f^{'} = f - 2 g$ et $g^{'} = 2 f + 5 g$ sont des combinaisons linéaires de fonctions dérivables sur $R$ : elles sont donc dérivables sur $R$ . Ainsi $f$ et $g$ sont deux fois dérivables sur $R$ , avec

$f^{''} = f^{'} - 2 g^{'}, g^{''} = 2 f^{'} + 5 g^{'} .$

Ce que le correcteur attend : la dérivabilité de $f^{'}$ se justifie AVANT de calculer $f^{''}$ ; calculer $f^{''}$ puis conclure qu'elle existe est un raisonnement circulaire.

Q2. (a) D'après Q1(b) et $(S)$ , pour tout $x \in R$ :

$f^{''} (x) = f^{'} (x) - 2 g^{'} (x) = f^{'} (x) - 2 (2 f (x) + 5 g (x)) = f^{'} (x) - 4 f (x) - 10 g (x) .$

La première équation de $(S)$ donne $2 g = f - f^{'}$ , donc $10 g = 5 f - 5 f^{'}$ , et

$f^{''} = f^{'} - 4 f - 5 f + 5 f^{'} = 6 f^{'} - 9 f .$

Ainsi $f^{''} - 6 f^{'} + 9 f = 0$ : $f$ est solution de $(E)$ .

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