Corrigé EDHEC 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 3 (Q1.a à Q7) : Maximum de n variables uniformes sur le segment de 0 à θ : loi du maximum, estimateur sans biais (n + 1)/n · max, Bienaymé-Tchebychev et intervalle de confiance, simulation Python

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n ⩾ 2$ ; $X ↪ U [0, θ]$ avec $θ \in [5, 7]$ ; $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, de même loi que $X$ .

Q1. (a) Rappeler la fonction de répartition $F$ de $X$ . (b) Donner $E (X)$ et $V (X)$ .
Q2. On pose $Y_{n} = max (X_{1}, \dots, X_{n})$ . (a) Déterminer sa fonction de répartition $F_{n}$ . (b) En déduire que $Y_{n}$ est à densité et en donner une densité $f_{n}$ .
Q3. (a) Montrer que si $U ↪ U [0, 1]$ , alors $θ U ↪ U [0, θ]$ . (b) Compléter une fonction Python var_Y(theta,n) qui simule $Y_{n}$ à l'aide de rd.random(n).

On suppose désormais $θ$ inconnu.

Q4. (a) Montrer que $Y_{n}$ admet une espérance et la calculer. (b) Montrer que $Y_{n}$ admet une variance et que $V (Y_{n}) = \frac{n θ ^{2}}{( n + 1 ) ^{2} ( n + 2 )}$ .
Q5. On pose $Z_{n} = \frac{n + 1}{n} Y_{n}$ . (a) Montrer que $Z_{n}$ est un estimateur de $θ$ et que $E (Z_{n}) = θ$ . (b) Calculer $V (Z_{n})$ .
Q6. (a) Justifier que $\frac{θ ^{2}}{n + 2} ⩽ 1$ pour $n ⩾ 47$ . (b) Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $Z_{n}$ et montrer que, pour $n ⩾ 47$ et tout $ε > 0$ , $P (∣ Z_{n} - θ ∣ ⩽ ε) ⩾ 1 - \frac{1}{n ε ^{2}}$ . (c) En déduire que, pour $n ⩾ 2000$ , $[Z_{n} - \frac{1}{10}, Z_{n} + \frac{1}{10}]$ est un intervalle de confiance de $θ$ au niveau au moins $0, 95$ .
Q7. Expliquer un code qui répète $1000$ fois la simulation de $Z_{2000}$ pour $θ = 6$ , compte les cas où $∣ Z_{2000} - 6∣ ⩽ 0, 1$ et affiche la proportion obtenue ; dire ce que représente ce résultat.

Corrigé

Q1. (a) Une densité de $X$ est $t \mapsto \frac{1}{θ}$ sur $[0, θ]$ et $0$ ailleurs. En intégrant de $- \infty$ à $x$ :

$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{x}{θ} 1 si x < 0, si 0 ⩽ x ⩽ θ, si x > θ .$

(b) Pour la loi uniforme sur $[0, θ]$ : $E (X) = \frac{θ}{2}$ et $V (X) = \frac{θ ^{2}}{12}$ .

Q2. (a) Soit $x \in R$ . Le plus grand des $X_{i} (ω)$ est inférieur ou égal à $x$ si et seulement si tous les $X_{i} (ω)$ le sont :

$[Y_{n} ⩽ x] = i = 1 ⋂ n [X_{i} ⩽ x] .$

Par indépendance mutuelle de $X_{1}, \dots, X_{n}$ , puis parce qu'elles ont toutes la loi de $X$ :

$F_{n} (x) = i = 1 \prod n P (X_{i} ⩽ x) = F (x)^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 0 (\frac{x}{θ})^{n} 1 si x < 0, si 0 ⩽ x ⩽ θ, si x > θ .$

Ce que le correcteur attend : $F_{n}$ vaut $1$ (et non $0$ ) sur $] θ, + \infty [$ : une fonction de répartition tend vers $1$ en $+ \infty$ .

(b) $F_{n}$ est continue sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ , $[0, θ]$ et $] θ, + \infty [$ . Aux points de raccord : en $0$ , la limite à gauche vaut $0$ et $F_{n} (0) = 0$ ; en $θ$ , $F_{n} (θ) = 1$ et la limite à droite vaut $1$ . Donc $F_{n}$ est continue sur $R$ . Elle est de classe $C^{1}$ sur $R ∖ {0, θ}$ (constante, ou polynomiale). Par définition, $Y_{n}$ est une variable à densité, et en dérivant hors de $0$ et $θ$ , une densité est

$f_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n x ^{n - 1}}{θ ^{n}} 0 si 0 ⩽ x ⩽ θ, sinon.$

(Les valeurs en $0$ et en $θ$ sont arbitraires, ce qui est permis.)

Q3. (a) Soit $U ↪ U [0, 1]$ , de fonction de répartition $G$ ( $G (t) = 0$ si $t < 0$ , $G (t) = t$ si $0 ⩽ t ⩽ 1$ , $G (t) = 1$ si $t > 1$ ). Comme $θ > 0$ , pour tout réel $x$ ,

$P (θ U ⩽ x) = P (U ⩽ \frac{x}{θ}) = G (\frac{x}{θ}),$

qui vaut $0$ si $x < 0$ , $\frac{x}{θ}$ si $0 ⩽ x ⩽ θ$ , et $1$ si $x > θ$ . C'est la fonction $F$ de Q1(a) ; la fonction de répartition caractérisant la loi, $θ U ↪ U [0, θ]$ .

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