Corrigé EDHEC 2026 Maths appliquées ECG — Problème, partie 1 (Q1.a à Q1.d) : La matrice Jₙ dont tous les coefficients valent 1 : polynôme annulateur x² − nx, diagonalisabilité, spectre {0, n} et sous-espace propre Vect(U)

$n$ et $d$ désignent des entiers naturels non nuls. $I_n$ est la matrice identité de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $J_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. On note $U\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ la colonne dont tous les coefficients valent $1$.

Q1. (a) Montrer que $P(x)=x^2-nx$ est un polynôme annulateur de $J_n$. (b) Rappeler pourquoi $J_n$ est diagonalisable, puis montrer par l'absurde que $J_n$ a deux valeurs propres, $0$ et $n$. (c) Pour $X={}^t(x_1,\dots ,x_n)$, montrer que $J_{n}X=nX$ si et seulement si $x_2=x_1$, $x_3=x_1$, …, $x_n=x_1$. (d) En déduire que le sous-espace propre de $J_n$ associé à $n$ est de dimension $1$, engendré par $U$.