Corrigé EDHEC 2026 Maths appliquées ECG — Problème, partie 4 (Q9 à Q11.e) : Valeurs propres possibles de la matrice d'adjacence : AU = dU, sous-espace propre de dimension 1, exclusion de −(d + 1), candidats (−1 ± √(4d − 3))/2

On garde les notations des parties précédentes : $A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe de Moore ($n=d^2+1$, tous les sommets de degré $d$), symétrique, de diagonale nulle, et $A^2+A=(d-1)I_n+J_n$ (Q8) ; $U$ est la colonne dont tous les coefficients valent $1$.

Q9. Justifier que $A$ est diagonalisable.
Q10. (a) À l'aide de Q6, montrer que $AU=dU$. (b) En déduire que $d$ est valeur propre de $A$.
Q11. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associé. (a) Établir que $J_{n}X=({\lambda }^2+\lambda -d+1)X$. (b) Montrer que si $\lambda =d$, alors $X\in \mathrm{Vect}(U)$, et en déduire que le sous-espace propre de $A$ associé à $d$ est de dimension $1$. (c) À l'aide de $n=d^2+1$, résoudre l'équation ${\lambda }^2+\lambda -d+1=n$, puis montrer qu'une seule de ses solutions est valeur propre de $A$. (d) Expliquer pourquoi $\lambda \ne d$ entraîne ${\lambda }^2+\lambda -d+1=0$. (e) En déduire que les autres valeurs propres possibles de $A$ sont $b=\frac{-1+\sqrt{4d-3}}{2}$ et $c=\frac{-1-\sqrt{4d-3}}{2}$.