Corrigé EDHEC 2026 Maths appliquées ECG — Problème, partie 5 (Q12.a à Q16) : Trace et matrices semblables, matrice diagonale semblable à A, impossibilité de d = 1 et d'un spectre à deux valeurs : le spectre est {d, b, c}

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties précédentes ; en particulier $Sp (A) \subset {d, b, c}$ avec $b = \frac{- 1 + 4 d - 3}{2}$ et $c = \frac{- 1 - 4 d - 3}{2}$ (Q11). La trace $Tr (M)$ d'une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux ; on admet que $Tr (M N) = Tr (N M)$ pour $M, N$ carrées de même format.

Q12. (a) Montrer que deux matrices semblables ont la même trace. (b) À l'aide de Q9, montrer par l'absurde que $b$ ou $c$ est valeur propre de $A$ .

On note $Δ$ une matrice diagonale semblable à $A$ .

Q13. Montrer que $Δ$ a un seul coefficient diagonal égal à $d$ , les autres valant $b$ ou $c$ .
Q14. Justifier, grâce à $D = 2$ , que $d \neq = 1$ .
Q15. On suppose que $b$ est la seule valeur propre de $A$ autre que $d$ . (a) Montrer, avec la trace de $Δ$ , que $d + (n - 1) b = 0$ . (b) En déduire $d - 2 = d 4 d - 3$ . (c) En élevant au carré, obtenir une contradiction sur $d$ .
Q16. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont $d$ , $b$ et $c$ .

Corrigé

Q12. (a) Soient $M, N \in M_{n} (R)$ semblables : il existe $P$ inversible telle que $N = P^{- 1} M P$ . Avec le résultat admis appliqué aux matrices carrées $P^{- 1}$ et $M P$ :

$Tr (N) = Tr (P^{- 1} (M P)) = Tr ((M P) P^{- 1}) = Tr (M) .$

(b) Raisonnons par l'absurde : supposons que ni $b$ ni $c$ ne soit valeur propre de $A$ . D'après Q10(b) et Q11(e), $Sp (A) = {d}$ . D'après Q9, il existe $P$ inversible et $Δ_{0}$ diagonale telles que $A = P Δ_{0} P^{- 1}$ ; les coefficients diagonaux de $Δ_{0}$ sont des valeurs propres de $A$ (si $C_{i}$ est la $i$ -ème colonne de $P$ , non nulle, $A C_{i} = P Δ_{0} e_{i} = δ_{i} C_{i}$ ). Ils valent donc tous $d$ : $Δ_{0} = d I_{n}$ et

$A = P (d I_{n}) P^{- 1} = d I_{n} .$

Le coefficient $a_{1, 1}$ vaudrait alors $d ⩾ 1$ , alors qu'il est nul (Q5(b)) : contradiction. Donc $b ou c est valeur propre de A .$

Q13. Soit $P$ inversible telle que $A = P Δ P^{- 1}$ , et notons $δ_{1}, \dots, δ_{n}$ les coefficients diagonaux de $Δ$ , $C_{1}, \dots, C_{n}$ les colonnes de $P$ .

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