Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 1 (Q1 à Q5.b) : Produit Z = X1X2 de deux uniformes indépendantes : E(Z) = 1/4, V(Z) = 7/144, −ln(X) suit E(1), densité −x·eˣ de Y1 + Y2 par convolution, densité −ln(x) de Z

Q1. On simule deux réalisations indépendantes de la loi uniforme et on les multiplie. La commande rd.random() rend un réel de $[0,1[$ ; $1-$rd.random() prend ses valeurs dans $]0,1]$, comme $X_1$ et $X_2$, et suit encore la loi uniforme (la valeur $0$ est de toute façon de probabilité nulle).

import numpy as np
import numpy.random as rd

def simulZ():
    X1 = 1 - rd.random()   # uniforme sur ]0,1]
    X2 = 1 - rd.random()   # tirage indépendant du précédent
    return X1 * X2

Les deux appels à rd.random sont indépendants, donc le produit renvoyé suit la loi de $Z=X_1{X}_2$. Exécution (graine rd.seed(2026), $10^5$ appels) : moyenne empirique $0,24988$ et variance empirique $0,04862$, à comparer aux valeurs $\frac{1}{4}$ et $\frac{7}{144}\approx 0,04861$ obtenues en Q2.

Q2. Existence. $X_1$ et $X_2$ sont bornées (à valeurs dans $]0,1]$), donc admettent des moments de tout ordre ; il en va de même de $Z=X_1{X}_2$, à valeurs dans $]0,1]$, et de $Z^2$. Ainsi $E(Z)$ et $V(Z)$ existent.

Calcul. Les variables $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et admettent un moment d'ordre $2$, donc $E(X_1{X}_2)=E(X_1)E(X_2)$ :

$$E(Z)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{4}.}$$

Par le lemme des coalitions, $X_1^2$ (fonction de $X_1$) et $X_2^2$ (fonction de $X_2$) sont indépendantes ; elles sont bornées, donc admettent un moment d'ordre $2$, et $E(Z^2)=E(X_1^2{X}_2^2)=E(X_1^2)E(X_2^2)$. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{U}[0,1]$, la formule de Kœnig-Huygens donne $E(X^2)=V(X)+E(X{)}^2=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$. D'où $E(Z^2)=\frac{1}{9}$ et

$$V(Z)=E(Z^2)-E(Z{)}^2=\frac{1}{9}-\frac{1}{16}=\frac{16-9}{144}=\boxed{\frac{7}{144}.}$$

Q3. (a) La fonction de répartition de $X_1\hookrightarrow \mathcal{U}[0,1]$ vaut $F_{X_1}(t)=t$ pour $t\in [0,1]$ et $1$ pour $t⩾1$. Soit $x\in \mathbb{R}$. Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $X_1>0$,