EDHEC 2026 — Maths approfondies ECG : sujet et corrigé

9 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Exercice 1 (Q1 à Q5.b) — Produit Z = X1X2 de deux uniformes indépendantes : E(Z) = 1/4, V(Z) = 7/144, −ln(X) suit E(1), densité −x·eˣ de Y1 + Y2 par convolution, densité −ln(x) de Z
• Exercice 2 — Méthode d'Archimède (Q1 à Q4) — Suites récurrentes un+1 = √((1+un)/2), vn+1 = vn/un+1 : un = cos(π/2ⁿ), vn = 2ⁿ sin(π/2ⁿ) → π, développement asymptotique en 1/4ⁿ
• Exercice 2 — Accélération de Richardson (Q5.a à Q6.c) — Accélération de Richardson : wn = (4vn+1 − vn)/3 = π − π⁵/(480·16ⁿ) + o(16⁻ⁿ), (wn − π)/(vn − π) ~ π²/(80·4ⁿ), généralisation à a + bqⁿ + crⁿ
• Exercice 3 — Partie 1 (Q1.a à Q2.d) — Mobile uniforme sur {0, …, k} : loi uniforme de Xk, premier retour Y avec P(Y = n) = 1/n − 1/(n+1), retour presque sûr mais sans espérance
• Exercice 3 — Partie 2 (Q3 à Q6.c) — Géométrique de paramètre 1 − Un/n avec Un uniforme : simulation, sommes de Riemann et convergence en loi vers Y, espérance totale E(Zn) = 1 + 1/2 + … + 1/n ~ ln(n)
• Problème — Partie 1 (Q1.a à Q3) — Matrices symétriques positives : A est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives, par le quotient ᵗXAX/ᵗXX et le théorème spectral
• Problème — Partie 2 (Q4.a à Q6.c) — Racine carrée B = PΔᵗP d'une matrice symétrique positive, puis B = S(A) avec S polynôme interpolateur de Lagrange de √μ aux valeurs propres
• Problème — Partie 3 (Q7.a à Q8.f) — Unicité de la racine carrée : B et C commutent, sous-espaces propres de b stables par c, base orthonormée commune de vecteurs propres, C = B
• Problème — Partie 4 (Q9 à Q11.e) — Matrices définies positives : valeurs propres strictement positives, I − M⁻¹ positive si M − I l'est, et S2 − S1 positive entraîne S1⁻¹ − S2⁻¹ positive