Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 3 — Partie 2 (Q3 à Q6.c) : Géométrique de paramètre 1 − Un/n avec Un uniforme : simulation, sommes de Riemann et convergence en loi vers Y, espérance totale E(Zn) = 1 + 1/2 + … + 1/n ~ ln(n)

Remarque préliminaire. Pour $k=0$, le paramètre vaut $1$ : sachant $(U_n=0)$, $Z_n$ est certaine égale à $1$ (premier succès au premier essai). La formule $P(Z_n=i\mid U_n=k)=p(1-p{)}^{i-1}$, avec $p=1-\frac{k}{n}$, reste valable dans ce cas avec la convention $0^0=1$, de même que l'espérance $\frac{1}{p}$. Pour $k⩾1$, $p\in ]0,1[$ et l'on est dans le cadre usuel.

Q3. rd.randint(0, n) renvoie un entier uniforme sur $[[0,n-1]]$ (borne de droite exclue) et rd.geometric(p) une réalisation de $\mathcal{G}(p)$.

import numpy as np
import numpy.random as rd

def var_Z(n):
    U = rd.randint(0, n)          # U suit la loi uniforme sur [[0, n-1]]
    Z = rd.geometric(1 - U / n)   # sachant (U = k) : loi G(1 - k/n)
    return Z

On tire d'abord $U$, puis la géométrique avec le paramètre déterminé par la valeur obtenue : c'est la traduction exacte de la loi conditionnelle. Pour $U=0$, rd.geometric(1.0) renvoie toujours $1$ (vérifié à l'exécution). Exécution (graine rd.seed(2026), $n=50$, $10^5$ appels) : fréquences de $\{Z_n=1\}$ et $\{Z_n=2\}$ égales à $0,512$ et $0,166$, pour des valeurs exactes (Q4(a)) $0,51$ et $0,1666$.