Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 2 — Méthode d'Archimède (Q1 à Q4) : Suites récurrentes un+1 = √((1+un)/2), vn+1 = vn/un+1 : un = cos(π/2ⁿ), vn = 2ⁿ sin(π/2ⁿ) → π, développement asymptotique en 1/4ⁿ

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On admet $cos (2 a) = 2 cos^{2} (a) - 1$ , $sin (2 a) = 2 sin (a) cos (a)$ et $sin (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} + o (x^{5})$ au voisinage de $0$ . On pose $u_{1} = 0$ , $v_{1} = 2$ et, pour $n ⩾ 1$ , $u_{n + 1} = \frac{1 + u _{n}}{2}$ et $v_{n + 1} = \frac{v _{n}}{u _{n + 1}}$ .

Q1. Montrer que les suites $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ et $(v_{n})_{n ⩾ 1}$ sont bien définies.
Q2. Compléter la fonction Python suite_v pour qu'elle renvoie $v_{n}$ .
Q3. (a) Montrer qu'il existe une unique suite $(α_{n})_{n ⩾ 1}$ d'éléments de $[0, \frac{π}{2}]$ telle que $u_{n} = cos (α_{n})$ pour tout $n ⩾ 1$ . (b) Expliciter $α_{n}$ . (c) En déduire $v_{n} = 2^{n} sin (\frac{π}{2 ^{n}})$ , puis la limite de $(v_{n})$ .
Q4. Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $v_{n} = a + \frac{b}{4 ^{n}} + \frac{c}{4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}})$ quand $n \to + \infty$ .

Corrigé

Q1. Montrons par récurrence la propriété $P (n)$ : « $u_{n}$ et $v_{n}$ sont bien définis et $u_{n} \in [0, 1]$ ».

Initialisation. $u_{1} = 0 \in [0, 1]$ et $v_{1} = 2$ : $P (1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ pour un $n ⩾ 1$ . Comme $u_{n} \in [0, 1]$ , $\frac{1 + u _{n}}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]$ est positif : sa racine carrée existe, et $u_{n + 1} = \frac{1 + u _{n}}{2} \in [\frac{1}{2}, 1] \subset [0, 1]$ . En particulier $u_{n + 1} ⩾ \frac{1}{2} > 0$ ne s'annule pas, donc $v_{n + 1} = \frac{v _{n}}{u _{n + 1}}$ est bien défini. $P (n + 1)$ est vraie.

Par le principe de récurrence, les deux suites sont bien définies, et $u_{n} \in [0, 1]$ pour tout $n ⩾ 1$ ; mieux, $u_{n} > 0$ pour $n ⩾ 2$ .

Ce que le correcteur attend : les deux conditions, $1 + u_{n} ⩾ 0$ pour la racine et $u_{n + 1} \neq = 0$ pour le quotient ; l'hypothèse de récurrence doit donc contenir un encadrement de $u_{n}$ , pas seulement « $u_{n}$ existe ».

Q2. À l'entrée du tour d'indice $k$ , les variables u et v contiennent $u_{k - 1}$ et $v_{k - 1}$ . On calcule d'abord $u_{k}$ , puis $v_{k} = \frac{v _{k - 1}}{u _{k}}$ , qui utilise la nouvelle valeur de u : l'ordre des deux lignes est imposé.


import numpy as np

def suite_v(n):
    u = 0
    v = 2
    for k in range(2, n + 1):
        u = np.sqrt((1 + u) / 2)   # u contient maintenant u_k
        v = v / u                  # v_k = v_{k-1} / u_k
    return v

Pour $n = 1$ , la boucle ne s'exécute pas et la fonction renvoie $v_{1} = 2$ . Exécution : suite_v(2) renvoie $2, 8284 \dots = 22$ , suite_v(5) renvoie $3, 13654849 \dots$ et suite_v(10) renvoie $3, 14158772 \dots$ .

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