Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 3 (Q7.a à Q8.f) : Unicité de la racine carrée : B et C commutent, sous-espaces propres de b stables par c, base orthonormée commune de vecteurs propres, C = B

$A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, $B$ est la matrice de la partie 2, et l'on suppose qu'il existe une autre matrice $C\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ telle que $C^2=A$.

Q7. (a) Montrer que $AC=CA$. (b) En déduire $A^{k}C=C{A}^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis, avec Q6(c), que $BC=CB$.

${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ ; $b$ et $c$ sont les endomorphismes de ${\mathbb{R}}^n$ canoniquement associés à $B$ et $C$ ; pour $i\in [[1,p]]$, $E_i=\mathrm{Ker}(b-\sqrt{{\mu }_i}\mathrm{Id})$.

Q8. (a) Justifier que $b\circ c=c\circ b$. (b) Montrer que $E_i$ est stable par $c$. (c) Justifier que l'endomorphisme $c_i$ induit par $c$ sur $E_i$ est symétrique. (d) En déduire une base orthonormale ${\mathcal{B}}_i$ de $E_i$ formée de vecteurs propres de $c_i$ et de $b$. (e) Construire une base $\mathcal{B}$ de ${\mathbb{R}}^n$ dans laquelle les matrices de $b$ et $c$ sont diagonales. (f) Montrer que $C=B$.

On note alors $B=A^{1/2}$, la « racine carrée » de $A$.