Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 1 (Q1.a à Q3) : Matrices symétriques positives : A est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives, par le quotient ᵗXAX/ᵗXX et le théorème spectral

$n⩾1$ ; $I_n$ est l'identité de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ le sous-espace des matrices symétriques. Une matrice $M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est positive si ${}^{t}XMX⩾0$ pour tout $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ ; ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ est l'ensemble de ces matrices. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ ; objectif : $A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ si et seulement si ses valeurs propres sont positives.

Q1. On suppose $A$ positive ; $\lambda$ est une valeur propre de $A$. (a) Montrer qu'il existe $X\ne 0$ tel que $\lambda =\frac{{}^{t}XAX}{{}^{t}XX}$. (b) En déduire $\lambda ⩾0$.
Q2. (a) Justifier l'existence de $P$ orthogonale et $D$ diagonale telles que $A=PD{}^{t}P$. On note ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ les coefficients diagonaux de $D$, supposés positifs. (b) Pour $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, on pose $Y={}^{t}PX$ : montrer que ${}^{t}XAX={}^{t}YDY$. (c) En déduire que ${}^{t}XAX⩾0$ pour tout $X$.
Q3. Conclure.