Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 3 — Partie 1 (Q1.a à Q2.d) : Mobile uniforme sur {0, …, k} : loi uniforme de Xk, premier retour Y avec P(Y = n) = 1/n − 1/(n+1), retour presque sûr mais sans espérance

Un mobile part de l'origine $O$ d'un axe à l'instant $0$ ; à chaque instant $k⩾1$, il se place de façon équiprobable sur l'un des points d'abscisses $0,1,\dots ,k$. $X_k$ est son abscisse à l'instant $k$ ($X_0=0$) ; les $X_k$ sont admises mutuellement indépendantes.

Q1. (a) Loi de $X_k$ pour $k⩾1$. (b) Existence et calcul de $E(X_k)$ et $V(X_k)$.
Q2. $Y$ est le rang du premier retour en $O$ (le départ ne compte pas), avec $Y=0$ s'il n'y a aucun retour. (a) Pour $n⩾1$, écrire l'événement $(Y=n)$ à l'aide de $X_1,\dots ,X_n$. (b) En déduire $P(Y=n)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ pour $n⩾1$. (c) Calculer ${\sum }_{n⩾1}P(Y=n)$, puis $P(Y=0)$. (d) $Y$ admet-elle une espérance ?