Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 4 (Q9 à Q11.e) : Matrices définies positives : valeurs propres strictement positives, I − M⁻¹ positive si M − I l'est, et S2 − S1 positive entraîne S1⁻¹ − S2⁻¹ positive

Q9. Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

Sens direct. Supposons $A$ définie positive et soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Comme en Q1(a), il existe $X\ne 0$ tel que $\lambda =\frac{{}^{t}XAX}{{}^{t}XX}$ ; le numérateur est strictement positif puisque $X\ne 0$, le dénominateur aussi : $\lambda >0$.

Réciproque. Supposons toutes les valeurs propres de $A$ strictement positives. Par Q2(a), $A=PD{}^{t}P$ avec $P$ orthogonale et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, les ${\lambda }_i$ étant les valeurs propres de $A$, donc ${\lambda }_i>0$. Soit $X\ne 0$ et $Y={}^{t}PX$, de coefficients $y_1,\dots ,y_n$. Comme $P$ est inversible, $X=PY$, donc $Y\ne 0$ : l'un au moins des $y_i$ est non nul. Par Q2(b),

$${}^{t}XAX={}^{t}YDY=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2>0,$$

somme de termes positifs dont l'un au moins est strictement positif. Donc $A$ est définie positive.

Ce que le correcteur attend : l'argument $Y\ne 0$ (par inversibilité de $P$), qui est le seul point nouveau par rapport à Q2.

Q10. (a) Par linéarité de la transposition, ${}^{t}N={}^{t}M-{}^t{I}_n=M-I_n=N$ : $N\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

(b) Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(M)$ et $X\ne 0$ tel que $MX=\lambda X$. Alors $NX=MX-X=(\lambda -1)X$ : $\lambda -1$ est une valeur propre de $N$. Comme $N$ est symétrique positive, ses valeurs propres sont positives (Q1(b)) : $\lambda -1⩾0$. Donc $\boxed{\mathrm{Sp}(M)\subset [1,+\infty [.}$ En particulier $0$ n'est pas valeur propre de $M$, donc $M$ est inversible.