Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 2 — Accélération de Richardson (Q5.a à Q6.c) : Accélération de Richardson : wn = (4vn+1 − vn)/3 = π − π⁵/(480·16ⁿ) + o(16⁻ⁿ), (wn − π)/(vn − π) ~ π²/(80·4ⁿ), généralisation à a + bqⁿ + crⁿ

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Suite de l'exercice 2 ; on a établi $v_{n} = 2^{n} sin (\frac{π}{2 ^{n}})$ (Q3) et $v_{n} = π - \frac{π ^{3}}{6 \cdot 4 ^{n}} + \frac{π ^{5}}{120 \cdot 4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}})$ (Q4). On pose $w_{n} = \frac{4 v _{n + 1} - v _{n}}{3}$ pour $n ⩾ 1$ .

Q5. (a) Écrire une fonction Python suite_w utilisant suite_v et renvoyant $w_{n}$ . (b) Limite de $(w_{n})$ . (c) Montrer que $w_{n} = π - \frac{π ^{5}}{480 \times 4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}})$ , puis donner un équivalent de $\frac{w _{n} - π}{v _{n} - π}$ . (d) Quel intérêt présente $(w_{n})$ plutôt que $(v_{n})$ pour approcher $π$ ?
Q6. Soient $q, r \in] 0, 1 [$ avec $q > r$ , et $(x_{n})_{n ⩾ 1}$ telle que $x_{n} = a + b q^{n} + c r^{n} + o (r^{n})$ , avec $a \in R$ , $b \neq = 0$ , $c \neq = 0$ . (a) Définir une suite $(y_{n})$ , combinaison linéaire de $x_{n}$ et $x_{n + 1}$ , telle que $y_{n} = a + d r^{n} + o (r^{n})$ , en précisant $d$ en fonction de $c$ , $q$ , $r$ . (b) Montrer que $x_{n} = a + b q^{n} + o (q^{n})$ . (c) En déduire que $(y_{n})$ converge vers $a$ plus vite que $(x_{n})$ .

Corrigé

Q5. (a) La fonction suite_v est celle de Q2.


def suite_w(n):
    return (4 * suite_v(n + 1) - suite_v(n)) / 3

Exécution, pour $n = 1$ , $5$ , $10$ : suite_w renvoie $3, 10457$ , $3, 1415920458$ et $3, 1415926535892$ , avec des erreurs $w_{n} - π$ égales à $- 3, 7 \times 1 0^{- 2}$ , $- 6, 08 \times 1 0^{- 7}$ et $- 5, 80 \times 1 0^{- 13}$ , quand $v_{10} - π \approx - 4, 93 \times 1 0^{- 6}$ .

(b) Par Q3(c), $v_{n} \to π$ , donc aussi $v_{n + 1} \to π$ (suite extraite), et par opérations sur les limites

$w_{n} n \to + \infty \frac{4 π - π}{3} = π .$

(c) On écrit le développement de Q4 au rang $n + 1$ , en utilisant $4^{n + 1} = 4 \cdot 4^{n}$ et $4^{2 (n + 1)} = 16 \cdot 4^{2 n}$ ; un $o (\frac{1}{16 \cdot 4 ^{2 n}})$ est un $o (\frac{1}{4 ^{2 n}})$ :

$v_{n + 1} 4 v_{n + 1} = π - \frac{π ^{3}}{24 \cdot 4 ^{n}} + \frac{π ^{5}}{1920 \cdot 4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}}), = 4 π - \frac{π ^{3}}{6 \cdot 4 ^{n}} + \frac{π ^{5}}{480 \cdot 4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}}) .$

En retranchant $v_{n}$ , les termes en $\frac{1}{4 ^{n}}$ se compensent exactement — c'est le but du coefficient $4$ :

$4 v_{n + 1} - v_{n} = 3 π + (\frac{1}{480} - \frac{1}{120}) \frac{π ^{5}}{4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}}) = 3 π - \frac{3 π ^{5}}{480 \cdot 4 ^{2 n}} + o (\frac{1}{4 ^{2 n}}) .$

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