Corrigé EDHEC 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 2 (Q4.a à Q6.c) : Racine carrée B = PΔᵗP d'une matrice symétrique positive, puis B = S(A) avec S polynôme interpolateur de Lagrange de √μ aux valeurs propres

$A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ s'écrit $A=PD{}^{t}P$ avec $P$ orthogonale et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ (partie 1).

Q4. (a) Justifier que $\Delta =\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n})$ est bien définie. (b) Vérifier que $B=P\Delta {}^{t}P$ appartient à ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ et que $B^2=A$.
Q5. ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_p$ ($1⩽p⩽n$) sont les valeurs propres distinctes de $A$. Pour $i\in [[1,p]]$, $L_i(x)={\prod }_{k\ne i}\frac{x-{\mu }_k}{{\mu }_i-{\mu }_k}$. Justifier que $L_i({\mu }_i)=1$ et $L_i({\mu }_j)=0$ pour $j\ne i$.
Q6. On pose $S={\sum }_{i=1}^p\sqrt{{\mu }_i}{L}_i$. (a) Montrer que $S({\mu }_k)=\sqrt{{\mu }_k}$ pour tout $k$, et en déduire $S({\lambda }_i)$ pour $i\in [[1,n]]$. (b) Établir $A^k=P{D}^k{}^{t}P$ pour tout $k\in \mathbb{N}$. (c) En déduire $S(A)=PS(D){}^{t}P$, puis $B=S(A)$.