Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 1 — Partie A (Q1.a à Q2) : Suite récurrente u(n+1) = u(n) exp(1/u(n)) : positivité, croissance, limite infinie par l'absurde, seuil 10^6 en Python

Q1. (a) Raisonnement par récurrence. Pour $n\in \mathbb{N}$, notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n$ est bien défini et $u_n>0$ ».

Initialisation. $u_0=1>0$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Comme $u_n\ne 0$, le quotient $1/u_n$ est défini, donc $u_{n+1}=u_n{\mathrm{e}}^{1/u_n}$ est bien défini ; c'est le produit du réel $u_n>0$ et du réel ${\mathrm{e}}^{1/u_n}>0$ (une exponentielle est strictement positive), donc $u_{n+1}>0$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $\boxed{u_n>0\text{ pour tout }n\in \mathbb{N}.}$

Ce que le correcteur attend : dans l'hérédité, on fixe UN entier $n$ ; écrire « supposons que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n>0$ » revient à supposer ce qu'on veut démontrer.

(b) Soit $n\in \mathbb{N}$. On calcule la différence de deux termes consécutifs :

$$u_{n+1}-u_n=u_n{\mathrm{e}}^{1/u_n}-u_n=u_n({\mathrm{e}}^{1/u_n}-1).$$