Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 1 — Partie B (Q3 à Q8) : Étude de f(x) = x exp(1/x) : limites, variations, développement par la série exponentielle, asymptote oblique y = x + 1

Q3. En $+\infty$. Quand $x\to +\infty$, $1/x\to 0$, donc, par continuité de l'exponentielle en $0$, ${\mathrm{e}}^{1/x}\to {\mathrm{e}}^0=1$. Par produit des limites, $f(x)=x{\mathrm{e}}^{1/x}\to +\infty$.

En $0$ (c'est-à-dire en $0^{+}$, puisque $f$ est définie sur $]0,+\infty [$). On pose $t=1/x$ ; quand $x\to 0^{+}$, $t\to +\infty$, et

$$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}=\frac{1}{t{\mathrm{e}}^{-t}}.$$

Par croissances comparées, ${\lim }_{t\to +\infty }t{\mathrm{e}}^{-t}=0$, et $t{\mathrm{e}}^{-t}>0$ ; l'inverse d'une quantité strictement positive qui tend vers $0$ tend vers $+\infty$. Par composition des limites,

$$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Ce que le correcteur attend : « croissances comparées » s'invoque sur une forme du cours ($t^a{\mathrm{e}}^{-t}\to 0$ en $+\infty$), d'où le changement de variable $t=1/x$, écrit explicitement.

Q4. La fonction $x\mapsto 1/x$ est dérivable sur $]0,+\infty [$, l'exponentielle sur $\mathbb{R}$ ; par composée et produit, $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et, pour $x>0$,

$$f^{\prime }(x)=1\cdot {\mathrm{e}}^{1/x}+x\cdot (-\frac{1}{x^2}){\mathrm{e}}^{1/x}={\mathrm{e}}^{1/x}(1-\frac{1}{x})=\frac{(x-1){\mathrm{e}}^{1/x}}{x}.$$

Comme ${\mathrm{e}}^{1/x}>0$ et $x>0$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $x-1$ : $f^{\prime }<0$ sur $]0,1[$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }>0$ sur $]1,+\infty [$. De plus $f(1)=\mathrm{e}$. Avec Q3 :

$$\begin{array}{cccccc}x& 0& & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& \Vert & -& 0& +& \\ f(x)& \Vert +\infty & \searrow & \mathrm{e}& \nearrow & +\infty \end{array}$$

La double barre en $0$ rappelle que $f$ n'y est pas définie. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0,1]$, strictement croissante sur $[1,+\infty [$, et admet en $1$ un minimum global égal à $\mathrm{e}$.