Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 1 — Partie C (Q9.a à Q12) : Comportement asymptotique : sommes télescopiques, encadrement de u(n) − n par ln u(n), équivalents u(n) ~ n et somme des 1/u(k) ~ ln n

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Reprise de la suite de la partie A ( $u_{0} = 1$ , $u_{n + 1} = u_{n} e^{1/ u_{n}}$ , soit $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ) et de l'encadrement $(*)$ de la partie B, valable pour $x ⩾ 1$ : $\frac{1}{2 x} ⩽ f (x) - (x + 1) ⩽ \frac{e}{x}$ .

Q9. (a) Montrer que $ln (u_{k + 1}) - ln (u_{k}) = \frac{1}{u _{k}}$ pour tout $k \in N$ . (b) En déduire $ln (u_{n}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{u _{k}}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q10. (a) À l'aide de $(*)$ , montrer que $1 + \frac{1}{2 u _{k}} ⩽ u_{k + 1} - u_{k} ⩽ 1 + \frac{e}{u _{k}}$ pour tout $k \in N$ . (b) Pour $n \in N^{*}$ , établir $n + \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{u _{k}} ⩽ u_{n} - 1 ⩽ n + e \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{u _{k}}$ , puis $1 + \frac{1}{2} ln (u_{n}) ⩽ u_{n} - n ⩽ 1 + e ln (u_{n})$ .
Q11. (a) Justifier que $ln (u_{n}) / u_{n}$ tend vers $0$ . (b) En déduire un équivalent simple de $u_{n}$ .
Q12. Déterminer un équivalent simple de $\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{u _{k}}$ quand $n \to + \infty$ .

Corrigé

On rappelle (Q1) que $u_{k} > 0$ et même $u_{k} ⩾ 1$ pour tout $k \in N$ , et que $u_{n} \to + \infty$ .

Q9. (a) Soit $k \in N$ . Les réels $u_{k}$ et $u_{k + 1} = u_{k} e^{1/ u_{k}}$ sont strictement positifs, on peut donc en prendre le logarithme, et le logarithme transforme un produit de réels strictement positifs en somme :

$ln (u_{k + 1}) = ln (u_{k}) + ln (e^{1/ u_{k}}) = ln (u_{k}) + \frac{1}{u _{k}} .$

D'où $ln (u_{k + 1}) - ln (u_{k}) = \frac{1}{u _{k}}$ pour tout $k \in N$ .

(b) Soit $n \in N^{*}$ . On somme l'égalité de (a) pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$ ; la somme de gauche est télescopique :

$k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{u _{k}} = k = 0 \sum n - 1 (ln (u_{k + 1}) - ln (u_{k})) = ln (u_{n}) - ln (u_{0}) = ln (u_{n}),$

car $ln (u_{0}) = ln 1 = 0$ . Ainsi $ln (u_{n}) = k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{u _{k}}$ pour tout $n \in N^{*}$ .

Q10. (a) Soit $k \in N$ . L'encadrement $(*)$ n'est établi que pour $x ⩾ 1$ : on vérifie donc d'abord que $u_{k} ⩾ 1$ , ce qui résulte de la croissance de $(u_{n})$ (Q1(b)) et de $u_{0} = 1$ . On peut alors appliquer $(*)$ en $x = u_{k}$ :

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