Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie A (Q1 à Q8.b) : Réduction simultanée des matrices de Vect(I, J, K) : polynôme annulateur, base propre commune, spectre et isomorphisme s

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans $M_{3} (R)$ , on pose $I = 100010001$ , $J = 011100100$ , $K = 100001010$ , et $E = Vect (I, J, K)$ . On pose aussi $U_{1} = 211$ et $U_{2} = 01 - 1$ .

Q1. Montrer que $(I, J, K)$ est une base de $E$ ; dimension de $E$ ?
Q2. Justifier sans calcul que $J$ et $K$ sont diagonalisables.
Q3. (a) Écrire $J^{3}$ comme multiple de $J$ . (b) En déduire que $Sp (J) \subset {- 2, 0, 2}$ .
Q4. (a) Vérifier que $U_{1}$ et $U_{2}$ sont vecteurs propres de $J$ . (b) Trouver un vecteur propre $U_{3}$ de $J$ associé à $- 2$ .
Q5. (a) Justifier que $(U_{1}, U_{2}, U_{3})$ est une base de $M_{3, 1} (R)$ . (b) Donner $P$ inversible telle que $P^{- 1} J P = diag (2, 0, - 2)$ .
Q6. (a) Montrer que $(U_{1}, U_{2}, U_{3})$ est aussi une base de vecteurs propres de $K$ . (b) Déterminer $P^{- 1} K P$ .
Q7. Soit $M \in E$ de coordonnées $(a, b, c)$ dans $(I, J, K)$ . (a) Exprimer $P^{- 1} M P$ . (b) En déduire les valeurs propres de $M$ .
Q8. Soit $s : E \to R^{3}$ , $s (a I + b J + cK) = (a + b 2 + c, a - c, a - b 2 + c)$ . (a) Donner la matrice $S$ de $s$ dans les bases $(I, J, K)$ et canonique. (b) Montrer que $s$ est bijective.

Corrigé

Q1. Famille génératrice. Par définition, $E = Vect (I, J, K)$ : la famille $(I, J, K)$ engendre $E$ .

Famille libre. Soient $a, b, c \in R$ tels que $a I + b J + cK = 0$ . En calculant coefficient par coefficient,

$a I + b J + cK = a + c b b b a c b c a .$

Cette matrice est nulle si et seulement si $b = 0$ (coefficient $(1, 2)$ ), $a = 0$ (coefficient $(2, 2)$ ) et $c = 0$ (coefficient $(2, 3)$ ). La famille $(I, J, K)$ est donc libre.

Libre et génératrice de $E$ , c'est une base de $E$ , et $dim E = 3$ (nombre de vecteurs d'une base).

Ce que le correcteur attend : les DEUX propriétés, génératrice (immédiate, mais à écrire) et libre ; la dimension est celle d'un espace, pas d'une famille.

Q2. Les matrices $J$ et $K$ sont symétriques réelles ( $J^{⊤} = J$ et $K^{⊤} = K$ , ce qui se lit sur leurs coefficients). D'après le cours, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable : $J et K sont diagonalisables.$

Q3. (a) On calcule

$J^{2} = 011100100011100100 = 200011011, J^{3} = J^{2} J = 022200200 .$

Ainsi $J^{3} = 2 J$ .

(b) D'après (a), $J^{3} - 2 J = 0$ : le polynôme $Q (x) = x^{3} - 2 x = x (x^{2} - 2) = x (x - 2) (x + 2)$ est un polynôme annulateur de $J$ . Toute valeur propre de $J$ est racine d'un polynôme annulateur, donc

$Sp (J) \subset {- 2, 0, 2} .$

Ce que le correcteur attend : la bonne factorisation $x (x - 2) (x + 2)$ , sans oublier la racine $0$ ; et l'inclusion seulement (une racine d'un polynôme annulateur n'est pas forcément valeur propre). Aucun calcul de sous-espace propre n'est demandé ici.

Q4. (a) On calcule

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