Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie A (Q1.a à Q2) : Loi de Pareto V = 1/√U : fonction de répartition, densité, espérance égale à 2 et absence de variance

Q1. (a) $U$ prend ses valeurs dans $]0,1]$. Pour $u\in ]0,1]$, $\sqrt{u}\in ]0,1]$ (la racine carrée est croissante sur $[0,+\infty [$ et $\sqrt{1}=1$), puis $\frac{1}{\sqrt{u}}⩾1$ (l'inverse d'un réel de $]0,1]$ est supérieur ou égal à $1$). Ainsi $V=\frac{1}{\sqrt{U}}$ est bien définie (pas de division par $0$) et $\boxed{V(\Omega )\subset [1,+\infty [.}$

(b) Rappelons que $U$ a pour fonction de répartition $F_U(t)=t$ pour $t\in [0,1]$ (et $0$ à gauche de $0$, $1$ à droite de $1$) ; comme $U$ est à densité, $P(U<t)=P(U⩽t)=t$ pour $t\in [0,1]$.

Cas $x<1$. Puisque $V⩾1$ (a), l'événement $[V⩽x]$ est impossible : $F_V(x)=P(V⩽x)=0$.

Cas $x⩾1$. Comme $U>0$ et $x>0$, on a les équivalences (les fonctions inverse et racine carrée sont strictement monotones sur $]0,+\infty [$) :