Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie B (Q3.a à Q4.b) : Maximum de n variables de Pareto : absence de convergence en loi, convergence en loi de M(n)/√n vers une loi de Fréchet

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les $V_{i}$ sont mutuellement indépendantes, de même loi que $V$ (partie A : $F_{V} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ si $x ⩾ 1$ , $0$ sinon). Pour $n ⩾ 1$ , $M_{n} = max (V_{1}, \dots, V_{n})$ , de fonction de répartition $F_{n}$ . On considère une variable $W$ de fonction de répartition $F_{W} (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ si $x > 0$ , $F_{W} (x) = 0$ si $x ⩽ 0$ , et l'on note $G_{n}$ la fonction de répartition de $M_{n} / n$ .

Q3. (a) Montrer que $F_{n} = (F_{V})^{n}$ pour tout $n ⩾ 1$ . (b) Calculer $lim_{n \to + \infty} F_{n} (x)$ pour tout réel $x$ . (c) Justifier que $(M_{n})$ ne converge en loi vers aucune variable aléatoire.
Q4. (a) Montrer que $lim_{n \to + \infty} G_{n} (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ pour tout $x > 0$ . (b) Conclure quant à la convergence en loi de $(M_{n} / n)_{n ⩾ 1}$ .

Corrigé

Q3. (a) Soient $n ⩾ 1$ et $x \in R$ . Le maximum de $n$ réels est inférieur ou égal à $x$ si et seulement si chacun d'eux l'est :

$[M_{n} ⩽ x] = i = 1 ⋂ n [V_{i} ⩽ x] .$

Les variables $V_{1}, \dots, V_{n}$ étant mutuellement indépendantes, les événements $[V_{i} ⩽ x]$ le sont aussi, et la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités. Comme les $V_{i}$ ont toutes la loi de $V$ :

$F_{n} (x) = i = 1 \prod n P (V_{i} ⩽ x) = i = 1 \prod n F_{V} (x) = (F_{V} (x))^{n} .$

Ainsi $F_{n} = (F_{V})^{n}$ pour tout $n ⩾ 1$ .

(b) On distingue deux cas selon l'expression de $F_{V}$ .

Si $x < 1$ : $F_{V} (x) = 0$ , donc $F_{n} (x) = 0$ pour tout $n$ , et la limite est $0$ .
Si $x ⩾ 1$ : $F_{V} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} \in [0, 1 [$ (car $\frac{1}{x ^{2}} \in] 0, 1]$ ). Une suite géométrique de raison $q \in [0, 1 [$ tend vers $0$ : $F_{n} (x) = (1 - \frac{1}{x ^{2}})^{n} \to 0$ .

Donc $n \to + \infty lim F_{n} (x) = 0 pour tout x \in R .$

Ce que le correcteur attend : la disjonction $x < 1$ / $x ⩾ 1$ , et l'argument $0 ⩽ 1 - \frac{1}{x ^{2}} < 1$ pour la limite de la puissance $n$ -ième.

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