Corrigé emlyon 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie D (Q7 à Q11) : Nombre de sinistres graves : loi conditionnelle binomiale, probabilités totales, loi de Poisson de paramètre λ/A²

Hypothèse implicite. Le calcul de la loi conditionnelle (Q9) exige que le nombre de sinistres $N$ soit indépendant de leurs coûts : on suppose, comme le sous-entend la modélisation, que les variables $N,V_1,V_2,\dots$ sont mutuellement indépendantes. On note $p=P(V>A)$ et $q=1-p$. Comme $A>1$, la partie A donne

$$p=1-F_V(A)=\frac{1}{A^2}\in ]0,1[.$$

Q7. $N$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$ : $N(\Omega )=\mathbb{N}$ et

$$\boxed{\forall n\in \mathbb{N},P(N=n)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}.}$$

Q8. Pour tout $\omega$, $T(\omega )$ est le cardinal d'une partie de $[[1,N(\omega )]]$, donc un entier compris entre $0$ et $N(\omega )$ : $T(\Omega )\subset \mathbb{N}$. Réciproquement, soit $k\in \mathbb{N}$ ; considérons l'événement

$$B_k=[N=k]\cap [V_1>A]\cap \cdots \cap [V_k>A]$$

(réduit à $[N=0]$ si $k=0$). Sur $B_k$, les $k$ sinistres de l'année ont tous un coût supérieur à $A$, donc $T=k$. Par indépendance, $P(B_k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{p}^k>0$ : $B_k$ n'est pas vide, et la valeur $k$ est prise par $T$. Ainsi

$$\boxed{T(\Omega )=\mathbb{N}.}$$