Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 1 (Q1 à Q7) : Suite d'intégrales de Wallis : intégration par parties, formule close par récurrence, fonction Python et équivalent par Stirling

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - t^{2})^{n} d t$ et $J_{n} = \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2})^{n} d t$ .

Q1. Justifier l'existence de $I_{n}$ et $J_{n}$ ; exprimer $J_{n}$ en fonction de $I_{n}$ .
Q2. Calculer $I_{0}$ .
Q3. Montrer que $(I_{n})$ est décroissante.
Q4. Par une intégration par parties, montrer que $I_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1} I_{n - 1}$ pour $n ⩾ 1$ .
Q5. En déduire par récurrence $I_{n} = \frac{( 2 ^{n} n ! ) ^{2}}{( 2 n + 1 )!}$ , puis donner $J_{n}$ .
Q6. Python : compléter une fonction I(n) (boucle for à trous, initialisée par i=1) qui renvoie $I_{n}$ .
Q7. Avec la formule de Stirling $n! \sim 2 π n (n / e)^{n}$ (admise), montrer que $J_{n} \sim π / n$ .

Corrigé

Q1. Soit $n \in N$ . La fonction $t \mapsto (1 - t^{2})^{n}$ est polynomiale, donc continue sur les segments $[0, 1]$ et $[- 1, 1]$ : les intégrales $I_{n}$ et $J_{n}$ sont des intégrales de fonctions continues sur un segment, elles sont bien définies.

Par la relation de Chasles, $J_{n} = \int_{- 1}^{0} (1 - t^{2})^{n} d t + \int_{0}^{1} (1 - t^{2})^{n} d t$ . Dans la première intégrale, le changement de variable $u = - t$ (affine, de classe $C^{1}$ , $d t = - d u$ , $t = - 1 \mapsto u = 1$ , $t = 0 \mapsto u = 0$ ) donne

$\int_{- 1}^{0} (1 - t^{2})^{n} d t = \int_{1}^{0} (1 - u^{2})^{n} (- d u) = \int_{0}^{1} (1 - u^{2})^{n} d u = I_{n} .$

Ainsi $J_{n} = 2 I_{n}$ (l'intégrande est paire et l'intervalle symétrique).

Q2. $I_{0} = \int_{0}^{1} 1 d t = 1$ .

Q3. Soit $n \in N$ . Pour tout $t \in [0, 1]$ , on a $0 ⩽ 1 - t^{2} ⩽ 1$ , donc, en multipliant l'inégalité $1 - t^{2} ⩽ 1$ par le réel positif $(1 - t^{2})^{n}$ :

$(1 - t^{2})^{n + 1} ⩽ (1 - t^{2})^{n} .$

Par croissance de l'intégrale (les bornes $0 < 1$ sont dans le bon ordre), $I_{n + 1} ⩽ I_{n}$ : la suite $(I_{n})_{n ⩾ 0}$ est décroissante. (Elle est de plus positive, par positivité de l'intégrale.)

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