emlyon 2025 — Maths approfondies ECG : sujet et corrigé

8 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Problème 1 — Partie 1 (Q1 à Q7) — Suite d'intégrales de Wallis : intégration par parties, formule close par récurrence, fonction Python et équivalent par Stirling
• Problème 1 — Partie 2 (Q8 à Q12) — Produit scalaire intégral sur les polynômes, endomorphisme de Legendre : spectre, endomorphisme symétrique et théorème spectral
• Problème 1 — Partie 2 (suite) (Q13.a à Q14.c.iii) — Meilleure approximation par projection orthogonale, polynômes de Legendre comme vecteurs propres (formule de Leibniz)
• Problème 1 — Partie 2 (fin) (Q14.d à Q14.e.iii) — Intégrations par parties itérées, racines multiples de (x²−1)^k et norme des polynômes de Legendre
• Problème 2 — Partie 1 (Q1 à Q4.b) — Loi de Cauchy : densité, absence d'espérance, fonction de répartition, simulation par inversion
• Problème 2 — Partie 1 (suite) (Q5 à Q8) — La variable racine de |X| : densité, espérance √2 sans variance, simulation et limite de la loi faible des grands nombres
• Problème 2 — Partie 2 (Q9 à Q13.c) — Variables indicatrices, troncature d'une variable à densité et théorème de transfert
• Problème 2 — Partie 2 (suite) (Q14 à Q20) — Loi faible des grands nombres sans variance : troncature, inégalité de Markov, convergence en probabilité