Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 2 (suite) (Q14 à Q20) : Loi faible des grands nombres sans variance : troncature, inégalité de Markov, convergence en probabilité

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q9 à Q13 : $X$ de densité $g$ , d'espérance nulle ; $(X_{k})_{k ⩾ 1}$ mutuellement indépendantes de même loi que $X$ ; pour $M > 0$ , $Y_{k} = X_{k} 1_{[∣ X_{k} ∣ ⩽ M]}$ , $Z_{k} = X_{k} 1_{[∣ X_{k} ∣ > M]}$ , et l'on a $E (Y_{k}^{2}) ⩽ M^{2}$ , $lim_{M \to + \infty} E (∣ Z_{k} ∣) = 0$ , $lim_{M \to + \infty} E (Y_{k}) = 0$ . On fixe $t > 0$ et $ε > 0$ . Pour $n \in N^{*}$ , $X_{n}$ , $Y_{n}$ , $Z_{n}$ sont les moyennes des $n$ premières variables de chaque suite.

Q14. Pour $x, y$ réels, montrer que $∣ x + y ∣ > t$ implique $∣ x ∣ > \frac{t}{2}$ ou $∣ y ∣ > \frac{t}{2}$ .
Q15. En déduire $P (∣ X_{n} ∣ > t) ⩽ P (∣ Y_{n} ∣ > \frac{t}{2}) + P (∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2})$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q16. (a) Montrer que $P (∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}) ⩽ \frac{2}{t} E (∣ Z_{1} ∣)$ . (b) Montrer qu'il existe $M_{1} > 0$ tel que, si $M ⩾ M_{1}$ , $P (∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}) ⩽ \frac{ε}{3}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q17. (a) Montrer que $E (Y_{n}^{2}) = \frac{1}{n ^{2}} (\sum_{k = 1}^{n} E (Y_{k}^{2}) + 2 \sum_{1 ⩽ i < j ⩽ n} E (Y_{i} Y_{j}))$ . (b) Montrer que $2 \sum_{1 ⩽ i < j ⩽ n} E (Y_{i} Y_{j}) ⩽ n (n - 1) E (Y_{1})^{2}$ . (c) Obtenir $E (Y_{n}^{2}) ⩽ \frac{M ^{2}}{n} + E (Y_{1})^{2}$ . (d) Justifier l'existence de $M_{2} > 0$ tel que $M ⩾ M_{2}$ entraîne $E (Y_{1})^{2} ⩽ \frac{t ^{2} ε}{12}$ . (e) En déduire, si $M ⩾ M_{2}$ , $P (∣ Y_{n} ∣ > \frac{t}{2}) ⩽ \frac{4 M ^{2}}{t ^{2} n} + \frac{ε}{3}$ .
Q18. Montrer que, si $M ⩾ max (M_{1}, M_{2})$ , $P (∣ X_{n} ∣ > t) ⩽ \frac{4 M ^{2}}{t ^{2} n} + \frac{2 ε}{3}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q19. Conclure que $lim_{n \to + \infty} P (∣ X_{n} ∣ > t) = 0$ .
Q20. Interpréter en comparant à un résultat du cours, puis commenter à nouveau la simulation de Q8.

Corrigé

Q14. Raisonnons par contraposée. La négation de « $∣ x ∣ > \frac{t}{2}$ ou $∣ y ∣ > \frac{t}{2}$ » est « $∣ x ∣ ⩽ \frac{t}{2}$ et $∣ y ∣ ⩽ \frac{t}{2}$ » ; celle de « $∣ x + y ∣ > t$ » est « $∣ x + y ∣ ⩽ t$ ». Supposons $∣ x ∣ ⩽ \frac{t}{2}$ et $∣ y ∣ ⩽ \frac{t}{2}$ . Par l'inégalité triangulaire,

$∣ x + y ∣ ⩽ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ \frac{t}{2} + \frac{t}{2} = t .$

La contraposée est démontrée, donc $∣ x + y ∣ > t ⟹ (∣ x ∣ > \frac{t}{2} ou ∣ y ∣ > \frac{t}{2})$ .

Ce que le correcteur attend : une contraposée correctement écrite : la négation d'un « ou » est un « et ».

Q15. Soit $n \in N^{*}$ . En sommant les relations $X_{k} = Y_{k} + Z_{k}$ (Q11) pour $k \in [[1, n]]$ et en divisant par $n$ , on obtient $X_{n} = Y_{n} + Z_{n}$ . Soit $ω \in [∣ X_{n} ∣ > t]$ ; Q14, appliquée à $x = Y_{n} (ω)$ et $y = Z_{n} (ω)$ , donne $∣ Y_{n} (ω) ∣ > \frac{t}{2}$ ou $∣ Z_{n} (ω) ∣ > \frac{t}{2}$ . Ainsi

$[∣ X_{n} ∣ > t] \subset [∣ Y_{n} ∣ > \frac{t}{2}] \cup [∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}] .$

Par croissance de $P$ et l'inégalité $P (A \cup B) ⩽ P (A) + P (B)$ :

$P (∣ X_{n} ∣ > t) ⩽ P (∣ Y_{n} ∣ > \frac{t}{2}) + P (∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}) .$

Q16. (a) Soit $n \in N^{*}$ . Posons $W_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ Z_{k} ∣$ . Chaque $∣ Z_{k} ∣$ admet une espérance (Q13.a) et $E (∣ Z_{k} ∣) = \int_{- \infty}^{+ \infty} φ_{M} (x) g (x) d x$ ne dépend pas de $k$ (les $X_{k}$ ont toutes la densité $g$ ) : $E (∣ Z_{k} ∣) = E (∣ Z_{1} ∣)$ . Par linéarité de l'espérance (variables quelconques, résultat admis), $W_{n}$ admet une espérance et $E (W_{n}) = E (∣ Z_{1} ∣)$ . Par l'inégalité triangulaire, $∣ Z_{n} ∣ ⩽ W_{n}$ , donc

$[∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}] \subset [W_{n} ⩾ \frac{t}{2}] .$

La variable $W_{n}$ est positive et admet une espérance, et $\frac{t}{2} > 0$ : l'inégalité de Markov s'applique et donne

$P (∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}) ⩽ P (W_{n} ⩾ \frac{t}{2}) ⩽ \frac{E ( W _{n} )}{t /2}, P (∣ Z_{n} ∣ > \frac{t}{2}) ⩽ \frac{2}{t} E (∣ Z_{1} ∣) .$

Ce que le correcteur attend : les hypothèses de Markov (variable positive, admettant une espérance) vérifiées ; Markov ne s'applique pas directement à $Z_{n}$ , qui n'est pas positive.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →