Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 2 (Q8 à Q12) : Produit scalaire intégral sur les polynômes, endomorphisme de Legendre : spectre, endomorphisme symétrique et théorème spectral

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On fixe un entier $n ⩾ 2$ ; $R_{n} [x]$ a pour base canonique $B_{n} = (e_{0}, \dots, e_{n})$ , $e_{k} : x \mapsto x^{k}$ . On pose $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ et $∥ \cdot ∥$ la norme associée. Pour $P \in R_{n} [x]$ , $u (P)$ est le polynôme $x \mapsto ((1 - x^{2}) P^{'} (x))^{'}$ .

Q8. Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $R [x]$ .
Q9. Les vecteurs de $B_{n}$ sont-ils deux à deux orthogonaux ?
Q10. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $R_{n} [x]$ .
Q11. (a) Montrer $u (e_{0}) = 0$ et $u (e_{1}) = - 2 e_{1}$ . (b) Pour $k \in [[2, n]]$ , montrer $u (e_{k}) = - k (k + 1) e_{k} + k (k - 1) e_{k - 2}$ . (c) En déduire le spectre de $u$ et la dimension de chaque sous-espace propre.
Q12. Par une intégration par parties, montrer qu'il existe une base orthonormale de $R_{n} [x]$ formée de vecteurs propres de $u$ ; en déduire une base orthogonale $L_{n} = (L_{0}, \dots, L_{n})$ de vecteurs propres de $u$ à coefficient dominant $1$ .

On admet ensuite que, après réindexation, $(L_{0}, \dots, L_{k})$ est une base orthogonale de $R_{k} [x]$ pour tout $k \in [[0, n]]$ .

Corrigé

Q8. Pour $P, Q \in R [x]$ , la fonction $t \mapsto P (t) Q (t)$ est polynomiale, donc continue sur le segment $[- 1, 1]$ : $⟨ P, Q ⟩$ est un réel bien défini.

Symétrie. $P (t) Q (t) = Q (t) P (t)$ , donc $⟨ P, Q ⟩ = ⟨ Q, P ⟩$ .
Linéarité à gauche. Pour $P_{1}, P_{2}, Q \in R [x]$ et $λ, μ \in R$ , par linéarité de l'intégrale, $⟨ λ P_{1} + μ P_{2}, Q ⟩ = λ ⟨ P_{1}, Q ⟩ + μ ⟨ P_{2}, Q ⟩$ . Avec la symétrie, l'application est bilinéaire.
Positivité. $⟨ P, P ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t)^{2} d t ⩾ 0$ par positivité de l'intégrale (bornes $- 1 < 1$ ).
Caractère défini. Si $⟨ P, P ⟩ = 0$ , la fonction $t \mapsto P (t)^{2}$ est continue et positive sur $[- 1, 1]$ , d'intégrale nulle : elle est donc nulle sur $[- 1, 1]$ . Le polynôme $P$ admet alors une infinité de racines (tous les points de $[- 1, 1]$ ) ; un polynôme ayant une infinité de racines est nul, donc $P = 0$ .

L'application est une forme bilinéaire symétrique définie positive : c'est un produit scalaire sur $R [x]$ .

Ce que le correcteur attend : pour le caractère défini, les deux arguments « fonction continue positive d'intégrale nulle » puis « polynôme à une infinité de racines ».

Q9. Non. Comme $n ⩾ 2$ , $e_{0}$ et $e_{2}$ sont dans $B_{n}$ , et

$⟨ e_{0}, e_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} t^{2} d t = [\frac{t ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{2}{3} \neq = 0.$

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