Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 2 (fin) (Q14.d à Q14.e.iii) : Intégrations par parties itérées, racines multiples de (x²−1)^k et norme des polynômes de Legendre

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations : $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P Q$ ; $P_{k} = (x^{2} - 1)^{k}$ , $Q_{k} = P_{k}^{(k)}$ , $L_{k} = \frac{k !}{( 2 k )!} Q_{k}$ (Q14.c) ; Partie 1 : $J_{k} = \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2})^{k} d t = \frac{2 ^{2 k + 1} ( k ! ) ^{2}}{( 2 k + 1 )!}$ .

Q14.d. Montrer par récurrence sur $k \in N$ que, pour tous $f, g \in R [x]$ ,

$\int_{- 1}^{1} f^{(k)} g = j = 0 \sum k - 1 (- 1)^{j} [f^{(k - 1 - j)} g^{(j)}]_{- 1}^{1} + (- 1)^{k} \int_{- 1}^{1} f g^{(k)} .$

Q14.e. Soit $k \in [[0, n]]$ . (i) Vérifier que $P_{k}^{(2 k)} = (2 k)!$ . (ii) Montrer par récurrence que, pour tout $ℓ \in [[0, k]]$ , il existe un polynôme $R_{k, ℓ}$ de degré au plus $ℓ$ tel que $P_{k}^{(ℓ)} = (x^{2} - 1)^{k - ℓ} R_{k, ℓ}$ . (iii) En déduire $P_{k}^{(ℓ)} (\pm 1) = 0$ pour $ℓ \in [[0, k - 1]]$ , puis, avec la Partie 1, $∥ Q_{k} ∥^{2} = \frac{2 ^{2 k + 1} ( k ! ) ^{2}}{2 k + 1}$ et $∥ L_{k} ∥ = 2^{k} \frac{2}{2 k + 1} (k 2 k)^{- 1}$ .

Corrigé

Q14.d. Pour $k \in N$ , notons $H (k)$ la propriété : « pour tous $f, g \in R [x]$ , l'égalité de l'énoncé est vraie au rang $k$ ». Les polynômes sont de classe $C^{\infty}$ sur $[- 1, 1]$ , ce qui autorise toutes les intégrations par parties.

Initialisation. Pour $k = 0$ , la somme est indexée par $j \in [[0, - 1]] = \emptyset$ : c'est une somme vide, égale à $0$ par convention. Le membre de droite vaut donc $(- 1)^{0} \int_{- 1}^{1} f g = \int_{- 1}^{1} f^{(0)} g$ : $H (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k \in N$ tel que $H (k)$ soit vraie, et soient $f, g \in R [x]$ . On applique $H (k)$ au couple $(f^{'}, g)$ , puisque $f^{(k + 1)} = (f^{'})^{(k)}$ :

$\int_{- 1}^{1} f^{(k + 1)} g = j = 0 \sum k - 1 (- 1)^{j} [f^{(k - j)} g^{(j)}]_{- 1}^{1} + (- 1)^{k} \int_{- 1}^{1} f^{'} g^{(k)} .$

Une intégration par parties sur le dernier terme donne

$\int_{- 1}^{1} f^{'} g^{(k)} = [f g^{(k)}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} f g^{(k + 1)} .$

En reportant :

$\int_{- 1}^{1} f^{(k + 1)} g = j = 0 \sum k - 1 (- 1)^{j} [f^{(k - j)} g^{(j)}]_{- 1}^{1} + (- 1)^{k} [f^{(0)} g^{(k)}]_{- 1}^{1} + (- 1)^{k + 1} \int_{- 1}^{1} f g^{(k + 1)} .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →