Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 1 (suite) (Q5 à Q8) : La variable racine de |X| : densité, espérance √2 sans variance, simulation et limite de la loi faible des grands nombres

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$X$ suit la loi de Cauchy, de densité $f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}$ et de fonction de répartition $F (x) = \frac{1}{2} + \frac{a r c t a n x}{π}$ (Q1 à Q3) ; cauchy() simule $X$ (Q4.b). On pose $Z = ∣ X ∣$ (variable aléatoire admise).

Q5. Montrer que $Z$ est à densité et expliciter une densité $f_{Z}$ .
Q6. Justifier que $Z$ admet une espérance mais pas de variance.
Q7. (a) Trouver $α, β$ réels tels que, pour $x ⩾ 0$ , $\frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 2 x + 1 ) ( x ^{2} + 2 x + 1 )} = \frac{α x}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{β x}{x ^{2} + 2 x + 1}$ . (b) Justifier la convergence de $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} - 2 x + 1}$ et de $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} + 2 x + 1}$ ; par un changement de variable affine, montrer que la seconde vaut $\frac{π}{2 2}$ (la première vaut $\frac{3 π}{2 2}$ , admis). (c) En écrivant $\frac{α x}{x ^{2} - 2 x + 1} = \frac{α}{2} \cdot \frac{( 2 x - 2 ) + 2}{x ^{2} - 2 x + 1}$ et de même pour le terme en $β$ , en déduire $E (Z) = 2$ .
Q8. Python : une fonction mystere(eps, n) répète $1000$ fois le tirage de $n$ valeurs np.sqrt(np.abs(cauchy())) et renvoie la fréquence des répétitions où la moyenne de l'échantillon est à distance au plus eps de $2$ ; elle est évaluée pour $ε \in {1; 0, 5; 0, 1; 0, 05}$ (lignes) et $n \in {100; 500; 1000; 1500; 3000; 5000; 50000}$ (colonnes). Les valeurs affichées croissent le long de chaque ligne vers $1$ (de $0, 99$ à $1$ pour $ε = 1$ , de $0, 21$ à $0, 992$ pour $ε = 0, 05$ ). Interpréter ; quelle conjecture ? quel résultat du cours serait-on tenté d'invoquer, et pourquoi ne s'applique-t-il pas ?

Corrigé

Q5. Fonction de répartition. Soit $z \in R$ .

Si $z < 0$ : $Z ⩾ 0$ , donc $[Z ⩽ z] = \emptyset$ et $F_{Z} (z) = 0$ .
Si $z ⩾ 0$ : la fonction racine carrée étant strictement croissante sur $R_{+}$ , $[Z ⩽ z] = [∣ X ∣ ⩽ z^{2}] = [- z^{2} ⩽ X ⩽ z^{2}]$ . Comme $X$ est à densité, $P (X = - z^{2}) = 0$ et

$F_{Z} (z) = F (z^{2}) - F (- z^{2}) = \frac{arctan ( z ^{2} ) - arctan ( - z ^{2} )}{π} = \frac{2}{π} arctan (z^{2}),$

par imparité de $arctan$ .

Régularité. $F_{Z}$ est continue sur $] - \infty, 0 [$ (constante) et sur $[0, + \infty [$ (composée de fonctions continues) ; en $0$ , $F_{Z} (0) = 0 = lim_{z \to 0^{-}} F_{Z} (z)$ . Donc $F_{Z}$ est continue sur $R$ . Elle est de classe $C^{1}$ sur $] - \infty, 0 [$ et sur $] 0, + \infty [$ , avec

$F_{Z}^{'} (z) = 0 (z < 0), F_{Z}^{'} (z) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 z}{1 + z ^{4}} (z > 0) .$

Ainsi $F_{Z}$ est continue sur $R$ et de classe $C^{1}$ sur $R$ privé du point $0$ : $Z$ est une variable à densité, et une densité s'obtient en dérivant là où c'est possible et en choisissant une valeur en $0$ :

$f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4 z}{π ( 1 + z ^{4} )} 0 si z ⩾ 0, si z < 0.$

Ce que le correcteur attend : la question demande aussi la densité, à écrire explicitement.

Q6. Espérance. $f_{Z}$ est nulle sur $] - \infty, 0 [$ ; il s'agit de la convergence (absolue) de $\int_{0}^{+ \infty} z f_{Z} (z) d z = \frac{4}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{z ^{2}}{1 + z ^{4}} d z$ . La fonction $z \mapsto \frac{z ^{2}}{1 + z ^{4}}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ , et

$\frac{z ^{2}}{1 + z ^{4}} z \to + \infty \sim \frac{1}{z ^{2}} .$

L'intégrale de Riemann $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d z}{z ^{2}}$ converge ( $2 > 1$ ) ; par le critère d'équivalence pour les fonctions positives, $\int_{1}^{+ \infty} \frac{z ^{2}}{1 + z ^{4}} d z$ converge, et $\int_{0}^{1}$ est l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. L'intégrande étant positif, la convergence est absolue : $Z$ admet une espérance.

Variance. Par le théorème de transfert, $Z$ admet un moment d'ordre $2$ si et seulement si $\int_{0}^{+ \infty} z^{2} f_{Z} (z) d z = \frac{4}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{z ^{3}}{1 + z ^{4}} d z$ converge. Or, pour $A > 0$ ,

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