Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 2 (Q9 à Q13.c) : Variables indicatrices, troncature d'une variable à densité et théorème de transfert

Pour un événement $A$, $1_A$ est la variable aléatoire valant $1$ sur $A$ et $0$ ailleurs. Pour un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, ${\chi }_I$ est la fonction valant $1$ sur $I$ et $0$ ailleurs. $X$ est une variable de densité $g$ et $s>0$.

Q9. Reconnaître la loi de $1_A$ ; donner son espérance et sa variance.
Q10. (a) Justifier que $1_{[X>s]}(\omega )={\chi }_{]s,+\infty [}(X(\omega ))$ pour tout $\omega \in \Omega$. (b) Pour $x\in \mathbb{R}$, ${\phi }_s(x)=|x|{\chi }_{]s,+\infty [}(|x|)$. Tracer la courbe de ${\phi }_s$ et donner ses points de discontinuité.

Désormais $X$ admet une espérance, nulle (on ne suppose pas qu'elle admet une variance), et $(X_k{)}_{k⩾1}$ est une suite de variables mutuellement indépendantes de même loi que $X$. Pour $M>0$ et $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $Y_k=X_k{1}_{[|X_k|⩽M]}$ et $Z_k=X_k{1}_{[|X_k|>M]}$ (elles dépendent de $M$).

Q11. Quelle relation lie $X_k$, $Y_k$, $Z_k$ ?
Q12. Montrer que $Y_k$ admet un moment d'ordre $2$ et que $E(Y_k^2)⩽M^2$.
Q13. (a) À l'aide de Q10, montrer que ${\lim }_{M\to +\infty }E(|Z_k|)=0$. (b) En déduire ${\lim }_{M\to +\infty }E(Z_k)=0$. (c) Obtenir ${\lim }_{M\to +\infty }E(Y_k)=E(X_k)=0$.