Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 1 — Partie 2 (suite) (Q13.a à Q14.c.iii) : Meilleure approximation par projection orthogonale, polynômes de Legendre comme vecteurs propres (formule de Leibniz)

Sujet officiel du concours emlyon, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q8 à Q12 : $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P Q$ , $u (P) = ((1 - x^{2}) P^{'})^{'}$ sur $R_{n} [x]$ , base orthogonale $(L_{0}, \dots, L_{n})$ de vecteurs propres de $u$ de coefficient dominant $1$ , avec $(L_{0}, \dots, L_{k})$ base de $R_{k} [x]$ pour tout $k ⩽ n$ (admis).

Q13. Soient $m > n$ et $f \in R_{m} [x]$ . (a) Montrer qu'il existe un unique $T_{n} \in R_{n} [x]$ tel que $∥ f - T_{n} ∥ = min_{g \in R_{n} [x]} ∥ f - g ∥$ , puis que $T_{n} = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} L_{k}$ , en exprimant $c_{k}$ en fonction de $f$ et $L_{k}$ . (b) Montrer que $∥ f - T_{n} ∥^{2} = ∥ f ∥^{2} - \sum_{k = 0}^{n} c_{k}^{2} ∥ L_{k} ∥^{2}$ .

Pour $k \in N$ , on pose $P_{k} : x \mapsto (x^{2} - 1)^{k}$ et $Q_{k} = P_{k}^{(k)}$ (dérivée $k$ -ième).

Q14. (a) Montrer que $Q_{k}$ est de degré $k$ , de coefficient dominant $\frac{( 2 k )!}{k !}$ . (b) Expliciter $Q_{0}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ . (c) (i) Montrer que $P_{1} (x) P_{k}^{'} (x) = 2 k e_{1} (x) P_{k} (x)$ pour tout $k \in N$ et tout réel $x$ . (ii) Pour $k \in [[0, n]]$ , en dérivant cette relation à l'ordre $k + 1$ par la formule de Leibniz, montrer que $(1 - x^{2}) Q_{k}^{''} - 2 x Q_{k}^{'} + k (k + 1) Q_{k} = 0$ ; en déduire que $Q_{k}$ est vecteur propre de $u$ pour la valeur propre $- k (k + 1)$ . (iii) Conclure que $L_{k} = \frac{k !}{( 2 k )!} Q_{k}$ pour $k \in [[0, n]]$ .

Corrigé

Q13. (a) Cadre. L'espace $E = R_{m} [x]$ , muni de la restriction de $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ (Q8), est de dimension finie $m + 1$ : c'est un espace euclidien, et $F = R_{n} [x]$ en est un sous-espace vectoriel (car $n < m$ ). On note $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$ .

Existence et unicité. Par la caractérisation de la projection orthogonale par minimisation, pour $v \in F$ :

$v = p_{F} (f) ⟺ ∥ f - v ∥ = g \in F min ∥ f - g ∥.$

Le sens direct montre que le minimum existe et est atteint en $p_{F} (f)$ ; le sens réciproque montre que tout $v \in F$ qui l'atteint est égal à $p_{F} (f)$ . Il existe donc un unique $T_{n} \in R_{n} [x]$ réalisant le minimum : $T_{n} = p_{F} (f)$ .

Expression. La famille $(L_{0}, \dots, L_{n})$ est une base orthogonale de $F$ (Q12), formée de vecteurs non nuls ; la famille $(\frac{L _{0}}{∥ L _{0} ∥}, \dots, \frac{L _{n}}{∥ L _{n} ∥})$ est donc une base orthonormée de $F$ . Le calcul de la projection en base orthonormée donne

$T_{n} = k = 0 \sum n ⟨ f, \frac{L _{k}}{∥ L _{k} ∥} ⟩ \frac{L _{k}}{∥ L _{k} ∥} = k = 0 \sum n c_{k} L_{k}, c_{k} = \frac{⟨ f , L _{k} ⟩}{∥ L _{k} ∥ ^{2}} = \frac{\int _{- 1}^{1} f ( t ) L _{k} ( t ) d t}{\int _{- 1}^{1} L _{k} ( t ) ^{2} d t} .$

Les $c_{k}$ sont uniques, $(L_{0}, \dots, L_{n})$ étant une base de $F$ .

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