Corrigé emlyon 2025 Maths approfondies ECG — Problème 2 — Partie 1 (Q1 à Q4.b) : Loi de Cauchy : densité, absence d'espérance, fonction de répartition, simulation par inversion

Q1. On vérifie les trois points de la définition d'une densité.

• $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (quotient de fonctions continues, le dénominateur $\pi (1+x^2)$ ne s'annulant pas).
• $f$ est positive sur $\mathbb{R}$.
• Intégrale. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto \frac{1}{\pi }\arctan x$. Pour $A>0$,

$$\begin{array}{c}{\int }_0^{A}f(x)\mathrm{d}x=\frac{\arctan A}{\pi }\underset{A\to +\infty }{\to }\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{1}{2},\\ {\int }_{-A}^{0}f(x)\mathrm{d}x=\frac{-\arctan (-A)}{\pi }\underset{A\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.\end{array}$$

Les intégrales ${\int }_0^{+\infty }f$ et ${\int }_{-\infty }^{0}f$ convergent, donc ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f$ converge et vaut $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Donc $f$ est une densité de probabilité.

Q2. Espérance. $X$ admet une espérance si et seulement si ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f(x)\mathrm{d}x$ converge. Sur $[1,+\infty [$, la fonction $x\mapsto xf(x)=\frac{x}{\pi (1+x^2)}$ est continue et positive, et

$$\frac{x}{\pi (1+x^2)}\underset{x\to +\infty }{\sim }\frac{1}{\pi x}.$$