Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 1 — Partie A (Q1.a à Q2.b) : Fonction f(x, y) = x + ln(1 + xy) : gradient, unique point critique (0, −1), point col, lignes de niveau tracées en Python

Régularité. L'application $(x,y)\mapsto 1+xy$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et elle prend ses valeurs dans $]0,+\infty [$ lorsque $(x,y)\in \mathcal{D}$ ; la fonction $\ln$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\infty [$. Par composition, $(x,y)\mapsto \ln (1+xy)$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur l'ouvert $\mathcal{D}$, et $f$, somme de cette fonction et de la fonction polynomiale $(x,y)\mapsto x$, est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathcal{D}$.

Q1. (a) On dérive $f(x,y)=x+\ln (1+xy)$ par rapport à $x$ (en gelant $y$), puis par rapport à $y$ (en gelant $x$), avec $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ :

$${\partial }_{1}f(x,y)=1+\frac{y}{1+xy},{\partial }_{2}f(x,y)=\frac{x}{1+xy},$$

d'où

$$\boxed{\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}1+\frac{y}{1+xy}\\ \frac{x}{1+xy}\end{array}\right).}$$

Ce que le correcteur attend : les notations ${\partial }_{1}f$, ${\partial }_{2}f$ du programme, et un gradient écrit comme un vecteur (colonne), pas comme une somme de dérivées partielles.

(b) Soit $(x,y)\in \mathcal{D}$. Comme $1+xy>0$,

$$\nabla f(x,y)=0⟺\{\begin{array}{l}1+\frac{y}{1+xy}=0\\ \frac{x}{1+xy}=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=0\\ 1+\frac{y}{1}=0\end{array}⟺(x,y)=(0,-1).$$

Il reste à vérifier que ce point est dans $\mathcal{D}$ : $1+0\times (-1)=1>0$. Donc $f$ admet un unique point critique sur $\mathcal{D}$ :

$$\boxed{(x_0,y_0)=(0,-1).}$$