Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 1 — Partie B (Q3 à Q7.b) : Ligne de niveau zéro : g(x) = (exp(−x) − 1)/x, prolongement continu, dérivabilité en 0 par développement limité, variations, zones de signe de f

Q3. Soit $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. La fonction exponentielle est strictement croissante et ${\mathrm{e}}^0=1$.

• Si $x>0$ : $-x<0$, donc ${\mathrm{e}}^{-x}<1$ ; le numérateur ${\mathrm{e}}^{-x}-1$ est strictement négatif et le dénominateur $x$ strictement positif, donc $g(x)<0$.
• Si $x<0$ : $-x>0$, donc ${\mathrm{e}}^{-x}>1$ ; le numérateur est strictement positif et le dénominateur strictement négatif, donc $g(x)<0$.

Ainsi $\boxed{g(x)<0\text{ pour tout }x\in {\mathbb{R}}^{\ast }.}$

Ce que le correcteur attend : un quotient se signe en étudiant séparément numérateur et dénominateur, donc en distinguant $x>0$ et $x<0$.

Q4. L'équivalent usuel ${\mathrm{e}}^u-1\sim u$ en $0$, appliqué avec $u=-x$ (qui tend vers $0$ quand $x\to 0$), donne ${\mathrm{e}}^{-x}-1\sim -x$ au voisinage de $0$. Les équivalents se divisent, donc

$$g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-1}{x}\sim \frac{-x}{x}=-1,\text{d’ouˋ}\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=-1.$$

La fonction $g$ admet une limite finie en $0$ : elle se prolonge par continuité en $0$ en posant $\boxed{g(0)=-1.}$ Le prolongement est continu sur $\mathbb{R}$ : sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, en $0$ par construction.

Q5. Pour $x\ne 0$, le taux d'accroissement de $g$ entre $0$ et $x$ vaut

$$\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\frac{1}{x}(\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-1}{x}+1)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-1+x}{x^2}.$$

Le développement limité d'ordre $2$ de l'exponentielle en $0$, ${\mathrm{e}}^u=1+u+\frac{u^2}{2}+u^2\epsilon (u)$ avec $\epsilon (u)\to 0$, appliqué en $u=-x$, donne

$${\mathrm{e}}^{-x}-1+x=\frac{x^2}{2}+x^2\epsilon (-x),\text{donc}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{1}{2}+\epsilon (-x)\underset{x\to 0}{\to }\frac{1}{2}.$$