Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 1 — Partie C (Q8 à Q11) : Primitive G de g : classe C1, équivalent G(x) ~ −ln(x) en +∞, développement de l'aire sous la ligne de niveau zéro au voisinage de 0

Q8. D'après Q4, $g$ est continue sur l'intervalle $\mathbb{R}$. D'après le cours (toute fonction continue sur un intervalle y admet une primitive), $g$ admet une primitive $H$ sur $\mathbb{R}$ : $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $H^{\prime }=g$. Par définition de l'intégrale, pour tout $x\in \mathbb{R}$,

$$G(x)={\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t=H(x)-H(0),$$

réel bien défini (indépendant de la primitive choisie). La fonction $G$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $G^{\prime }(x)=H^{\prime }(x)-0=g(x)$, car $H(0)$ est une constante. Comme $G^{\prime }=g$ est continue sur $\mathbb{R}$, $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et

$$\boxed{\forall x\in \mathbb{R},G^{\prime }(x)=g(x)(\text{en particulier }G(0)=0\text{ et }{G}^{\prime }(0)=g(0)=-1).}$$

$G$ est la primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$.

Ce que le correcteur attend : c'est la continuité de $g$ sur tout $\mathbb{R}$, donc en $0$ grâce au prolongement de Q4, qui donne l'existence de $G$ ; et la dérivée de $H(0)$ est nulle, on n'écrit pas $G^{\prime }(x)=H^{\prime }(x)-H^{\prime }(0)$.

Q9. Soit $x>0$. Par la relation de Chasles,

$$G(x)={\int }_0^{1}g(t)\mathrm{d}t+{\int }_1^{x}g(t)\mathrm{d}t=G(1)+{\int }_1^{x}g(t)\mathrm{d}t.$$