Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie A (Q1 à Q3.c) : Endomorphisme φ(M) = tr(M)I − M de M2(R) : matrice dans la base canonique, A² = I, spectre {−1, 1} et sous-espaces propres

Q1. Soient $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $\lambda M+N=\left(\begin{array}{cc}\lambda a+a^{\prime }& \lambda b+b^{\prime }\\ \lambda c+c^{\prime }& \lambda d+d^{\prime }\end{array}\right)$, donc

$$\mathrm{tr}(\lambda M+N)=(\lambda a+a^{\prime })+(\lambda d+d^{\prime })=\lambda (a+d)+(a^{\prime }+d^{\prime })=\lambda \mathrm{tr}(M)+\mathrm{tr}(N).$$

L'application $\mathrm{tr}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, est donc $\boxed{\text{lineˊaire}}$ : c'est une forme linéaire sur ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Ce que le correcteur attend : la définition d'une application linéaire ($f(\lambda M+N)=\lambda f(M)+f(N)$), et non le critère qui caractérise un sous-espace vectoriel : $\mathrm{tr}$ est une application, pas un ensemble.

Q2. (a) Pour $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $\phi (M)=\mathrm{tr}(M)I-M$ est une combinaison linéaire de deux éléments de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ : $\phi$ va de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Soient $M,N\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Par linéarité de la trace (Q1),

$$\begin{array}{rl}\phi (\lambda M+N)& =(\lambda \mathrm{tr}(M)+\mathrm{tr}(N))I-\lambda M-N\\ & =\lambda (\mathrm{tr}(M)I-M)+(\mathrm{tr}(N)I-N)=\lambda \phi (M)+\phi (N).\end{array}$$