Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie B (Q4 à Q5.b) : Formule de la comatrice en dimension 2 : M φ(M) = det(M) I, critère d'inversibilité et inverse d'une somme de matrices

Q4. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Comme $\mathrm{tr}(M)=a+d$,

$$\phi (M)=\left(\begin{array}{cc}a+d& 0\\ 0& a+d\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\boxed{\phi (M)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).}$$

On effectue le produit ligne par colonne, en détaillant chaque coefficient :

$$M\phi (M)=\left(\begin{array}{cc}a\cdot d+b\cdot (-c)& a\cdot (-b)+b\cdot a\\ c\cdot d+d\cdot (-c)& c\cdot (-b)+d\cdot a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right),$$

d'où $\boxed{M\phi (M)=\det (M)I.}$ Le même calcul dans l'autre ordre donne aussi

$$\phi (M)M=\left(\begin{array}{cc}d\cdot a+(-b)\cdot c& d\cdot b+(-b)\cdot d\\ (-c)\cdot a+a\cdot c& (-c)\cdot b+a\cdot d\end{array}\right)=\det (M)I,$$

ce qui servira en Q5. ($\phi (M)$ est la transposée de la comatrice de $M$.)

Ce que le correcteur attend : le produit écrit coefficient par coefficient ; « on vérifie que » sans calcul ne rapporte rien sur une question de calcul.