Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie C (Q6.a à Q8.b) : Polynômes de Tchebychev : degré par récurrence double, puissances d'une matrice de déterminant 1, trace de Mⁿ polynomiale en tr(M), fonctions Python

Sujet officiel du concours emlyon, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les polynômes de Tchebychev $(P_{n})_{n ⩾ 0}$ sont définis par $P_{0} = 0$ , $P_{1} = 1$ et, pour $n ⩾ 1$ , $P_{n + 1} (x) = x P_{n} (x) - P_{n - 1} (x)$ . Notations des parties A et B : $tr$ , $det$ , $φ (M) = tr (M) I - M$ , et $M φ (M) = det (M) I$ (Q4).

Q6. (a) Déterminer $P_{2}$ et $P_{3}$ . (b) Montrer que $de g (P_{n}) = n - 1$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q7. Soit $M \in M_{2} (R)$ telle que $det (M) = 1$ ; on pose $a_{n} = P_{n} (tr (M))$ pour $n \in N$ . (a) À l'aide de Q4, montrer que $M^{2} = tr (M) M - I$ . (b) Montrer que $M^{n} = - a_{n - 1} I + a_{n} M$ pour tout $n ⩾ 1$ $(*)$ . (c) En déduire, pour $n \in N^{*}$ , un polynôme $Q_{n}$ tel que $tr (M^{n}) = Q_{n} (tr (M))$ , exprimé à l'aide des $P_{k}$ .
Q8. (a) Compléter une fonction Python P(n,x) (variables P0, P1, boucle for k in range(1,n+1), renvoi de P0) qui renvoie $P_{n} (x)$ . (b) Avec P et $(*)$ , écrire Puissance(n,M) qui renvoie $M^{n}$ pour $n ⩾ 1$ et $M$ (tableau np.array) de déterminant $1$ ; np.eye(2) est l'identité d'ordre $2$ .

Corrigé

Q6. (a) La relation de récurrence avec $n = 1$ , puis $n = 2$ , donne

$P_{2} (x) = x P_{1} (x) - P_{0} (x) = x \cdot 1 - 0, P_{3} (x) = x P_{2} (x) - P_{1} (x) = x \cdot x - 1,$

soit $P_{2} = X et P_{3} = X^{2} - 1.$

(b) On utilise la règle : si $de g B < de g A$ , alors $de g (A - B) = de g A$ (le terme dominant de $A$ ne peut pas être compensé), et $de g (X A) = de g A + 1$ pour $A \neq = 0$ . La récurrence de définition faisant intervenir deux rangs, on démontre par récurrence sur $n ⩾ 1$ la propriété

$H (n) : de g (P_{n}) = n - 1 et de g (P_{n + 1}) = n .$

Initialisation. $P_{1} = 1$ est de degré $0$ et $P_{2} = X$ de degré $1$ : $H (1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n ⩾ 1$ tel que $H (n)$ soit vraie. Par définition, $P_{n + 2} = X P_{n + 1} - P_{n}$ . D'après $H (n)$ , $P_{n + 1}$ est de degré $n$ (donc non nul), d'où $de g (X P_{n + 1}) = n + 1$ ; et $de g (P_{n}) = n - 1 < n + 1$ . La règle rappelée donne $de g (P_{n + 2}) = n + 1$ . Avec $de g (P_{n + 1}) = n$ , issu de $H (n)$ , la propriété $H (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. $de g (P_{n}) = n - 1 pour tout n \in N^{*} .$ La même récurrence montre que le coefficient dominant de $P_{n}$ vaut $1$ (celui de $X P_{n + 1}$ est celui de $P_{n + 1}$ ). Le cas $n = 0$ est exclu à juste titre : $P_{0}$ est le polynôme nul.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →