Corrigé emlyon 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie A (Q1.a à Q7) : Temps d'attente du premier double pile : lois géométriques, piles isolés, décomposition T = somme des Ni et E(T) = (1 + p)/p²

Sujet officiel du concours emlyon, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une pièce donne pile avec la probabilité $p \in] 0, 1 [$ ; $q = 1 - p$ . Les lancers sont indépendants ; $P_{k}$ (resp. $F_{k}$ ) : « pile (resp. face) au $k$ -ième lancer », l'intersection étant notée par juxtaposition. Un double pile est un événement $P_{k - 1} P_{k}$ ; un pile isolé est un événement $P_{1} F_{2}$ ou $F_{k - 1} P_{k} F_{k + 1}$ . On note $P$ la probabilité.

Première expérience : on lance la pièce jusqu'au premier pile, puis une fois encore ; $N$ est le nombre de lancers, $S$ l'événement « le dernier lancer donne pile ». On admet que lancer jusqu'au premier double pile revient à répéter indépendamment la première expérience jusqu'à réaliser $S$ ; $R$ est le nombre de répétitions, $T$ le nombre total de lancers et, pour $i ⩾ 1$ , $N_{i}$ le nombre de lancers de la $i$ -ème répétition si $R ⩾ i$ , $N_{i} = 0$ si $R < i$ . Ainsi $T = \sum_{i = 1}^{+ \infty} N_{i}$ (somme finie).

Q1. (a) Reconnaître la loi de $N - 1$ . (b) En déduire la loi de $N$ , $E (N)$ et $V (N)$ .
Q2. (a) Pour $n ⩾ 2$ , calculer $P ((N = n) \cap S)$ . (b) Montrer que $P (S) = p$ .
Q3. (a) Loi de $R$ ? (b) Nombre moyen de piles isolés avant le premier double pile ?
Q4. On admet que la loi de $N_{i}$ sachant $(R ⩾ i)$ est celle de $N$ . (a) Calculer $P (N_{i} = 0)$ . (b) Montrer que $P (N_{i} = k) = p q^{i + k - 3}$ pour $k ⩾ 2$ . (c) Montrer que $E (N_{i}) = q^{i - 1} \frac{1 + p}{p}$ .
Q5. Montrer que $\sum_{i ⩾ 1} E (N_{i})$ converge et calculer sa somme.
Q6. Soit $n ⩾ 2$ . (a) Justifier que $P (T = k) = P (N_{1} + \dots + N_{n} = k)$ pour $k \in [[0, n]]$ . (b) En déduire $\sum_{k = 2}^{n} k P (T = k) ⩽ \sum_{i = 1}^{n} E (N_{i})$ . (c) Établir que $T$ admet une espérance.
Q7. Conclure que $E (T) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} E (N_{i})$ .

Corrigé

Q1. (a) $N - 1$ est le rang du premier pile. Les lancers forment une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de même paramètre $p$ (le succès est « pile ») ; le rang du premier succès suit la loi géométrique :

$N - 1 ↪ G (p), P (N - 1 = k) = p q^{k - 1} (k \in N^{*}) .$

(b) $N = (N - 1) + 1$ , donc $N (Ω) = [[2, + \infty [[$ et, pour $n ⩾ 2$ , $P (N = n) = P (N - 1 = n - 1) = p q^{n - 2}$ . La loi géométrique admet espérance et variance, $E (N - 1) = \frac{1}{p}$ et $V (N - 1) = \frac{q}{p ^{2}}$ ; par $E (X + 1) = E (X) + 1$ et $V (X + 1) = V (X)$ ,

$\forall n ⩾ 2, P (N = n) = p q^{n - 2}, E (N) = \frac{1}{p} + 1 = \frac{1 + p}{p}, V (N) = \frac{q}{p ^{2}} .$

Ce que le correcteur attend : pour la loi géométrique, la phrase complète (épreuves de Bernoulli indépendantes, même paramètre, rang du premier succès) ; et le bon décalage : $P (N = n) = P (N - 1 = n - 1)$ , et non $P (N - 1 = n + 1)$ .

Q2. (a) Soit $n ⩾ 2$ . L'événement $(N = n) \cap S$ signifie : premier pile au rang $n - 1$ , puis pile au rang $n$ . Donc $(N = n) \cap S = F_{1} \dots F_{n - 2} P_{n - 1} P_{n}$ et, par indépendance des lancers,

$P ((N = n) \cap S) = q^{n - 2} p^{2} .$

(b) Les événements $(N = n)$ , $n ⩾ 2$ , forment un système complet d'événements ( $N$ prend presque sûrement une valeur de $[[2, + \infty [[$ ). La formule des probabilités totales et (a) donnent

$P (S) = n = 2 \sum + \infty P ((N = n) \cap S) = p^{2} n = 2 \sum + \infty q^{n - 2} = p^{2} j = 0 \sum + \infty q^{j} = \frac{p ^{2}}{1 - q} = \frac{p ^{2}}{p},$

la série géométrique de raison $q \in] 0, 1 [$ convergeant. Ainsi $P (S) = p .$ (C'est intuitif : le lancer supplémentaire est indépendant de ceux qui le précèdent.)

Q3. (a) Chaque répétition de la première expérience réalise $S$ avec la probabilité $p$ (Q2(b)), indépendamment des autres répétitions, et $R$ est le rang de la première répétition qui réalise $S$ : c'est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ . Donc

$R ↪ G (p) : \forall r \in N^{*}, P (R = r) = p q^{r - 1}, E (R) = \frac{1}{p} .$

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